Determine os valores de m (reais) para os quais o sistema admite solução diferente da imprópria (trivial).
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema homogêneo de quatro equações em quatro incógnitas ,x1,x2,x3,x4, cujo coeficientes vêm de potências de certos valores que dependem de m. Em notação polinomial, cada linha do sistema é da forma
T^3x1+T^2x2+T,x3+x4=0
para quatro valores
T1=-(m+1), T2=-(m+2), T3=m+1, T4=m^2+1
Estamos estudando quando o sistema admite solução não trivial, isto é, quando o determinante da matriz de coeficientes é zero.
Passo 2
Lembrando que o determinante de uma matriz de Vandermonde gerada pelos valores T1,T2,T3,T4 é
prod1<= i<j<=4(Tj-Ti),
vemos que ele se anula exatamente quando pelo menos dois dos Ti coincidem. Logo, o sistema terá solução não trivial se e somente se houver ineq j com
Ti=Tj
Passo 3
Listamos as igualdades Ti=Tj possíveis, e resolvemos em ,m:
m+1=m^2+1 Longrightarrow m^2-m=0 Longrightarrow m(m-1)=0 Longrightarrow m=0 ou m=1
As demais igualdades (T1=T2, T1=T4, T2=T4) levam a equações com discriminante negativo, sem solução real.
Passo 4
Reunindo os valores reais obtidos, concluímos que o sistema admite solução não trivial exatamente para
minl-1,,-tfrac32,,0,,1r
Resposta
-1,,-tfrac32,,0,,1
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 423