Determine k de modo que o sistema
l k x+2 y=-z -y+3 z=2 k x 2 x-2 z=3 y

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de três equações lineares em x,y,z com parâmetro k. O conteúdo principal é discutir compatibilidade de sistemas homogêneos: sabemos que eles têm solução não-trivial se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes for zero. Vamos usar isso para encontrar o valor de k que torne o sistema indeterminado (infinitas soluções não-triviais).

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial , em que

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det(A) = k & 2 & 1 2k & 1 & -3 2 & -3 & -2 = k1 & -3-3 & -2 -22k & -32 & -2 +12k & 12 & -3
Agora cada menor:
1 & -3-3 & -2 =1cdot(-2)-(-3)cdot(-3)=-2-9=-11,
2k & -32 & -2 =2kcdot(-2)-(-3)cdot2=-4k+6,
2k & 12 & -3 =2kcdot(-3)-1cdot2=-6k-2
Substituindo:
det(A)=kcdot(-11)-2cdot( -4k+6)+1cdot(-6k-2) =-11k+8k-12-6k-2=-9k-14

Passo 4

Para haver solução não-trivial, impomos det(A)=0:
-9k-14=0 Longrightarrow k=-149

Resposta

k = -tfrac149

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