Dado o sistema:
cr x+y+z & =1 x+a^2 y+z & =a^2 2 x+2 y+(3-a) z & =b^2
Para que valores de a e b esse sistema é:
a) possível?
b) simplesmente indeterminado?
c) duplamente indeterminado?
Justifique as respostas utilizando o teorema de Rouché-Capelli.

Passo 1

Vamos aplicar o teorema de Rouché-Capelli ao sistema
Seja a matriz dos coeficientes e a matriz ampliada. O sistema é compatível se e só se
e tem solução única se , solução infinita de dimensão caso .

Passo 2

Calculemos
det A = 1&1&1 1&a^2&1 2&2&3-a
Fazendo expansão, chega-se a
det A=-a^3+a^2+a-1=-(a-1)^2(a+1)
Logo det Aneq0 exatamente quando aneq1 e aneq-1.

Passo 3

Caso e , temos , ou seja . Então
automaticamente e o sistema tem solução única. Em particular, é sempre possível para qualquer .

Passo 4

Agora . Nesse caso mas as linhas de não são todas proporcionais: uma aplicação de eliminação mostra . No ampliado, a mesma operação revela para todo . Logo o sistema é compatível e tem
çõ
isto é, solução infinita com um parâmetro (simplesmente indeterminado).

Passo 5

Finalmente . Aqui e todas as linhas de são proporcionais, de modo que . No ampliado temos:
  • Se , as equações não são todas proporcionais e , logo sistema impossível.
  • Se , então também e
çõ
isto é, solução infinita com dois parâmetros (duplamente indeterminado).

Resposta

a) O sistema é possível (tem solução) sempre que aneq1 e aneq-1 (solução única) ou quando a=-1 (infinitas soluções) ou ainda quando a=1 e b^2=2.
b) É simplesmente indeterminado (uma família uniparamétrica) exatamente para a=-1 e qualquer b.
c) É duplamente indeterminado (dois parâmetros) se, e somente se, a=1 e b^2=2.

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