Dado um tetraedro regular de aresta a, determine:
a) a aresta do octaedro cujos vértices são pontos médios das arestas do tetraedro;
b) a aresta do cubo cujos vértices são centros das faces do octaedro obtido acima;
c) a aresta de um novo octaedro, cujos vértices são centros das faces do cubo obtido acima.

Passo 1

O enunciado nos dá um tetraedro regular de aresta a.
Conteúdo: transformações entre poliedros regulares via pontos médios de arestas e centros de faces (duais).
Vamos precisar de:
  • Para (a), distância entre pontos médios de duas arestas que se encontram num vértice.
  • Para (b), descobrir que os centros das faces de um octaedro formam um cubo, e calcular a aresta desse cubo em função da aresta s do octaedro.
  • Para (c), usar que os centros das faces de um cubo formam um octaedro, e relacionar a aresta desse octaedro com a aresta b do cubo.

Passo 2

(a) Se A,B,C são três vértices quaisquer do tetraedro, então os pontos médios de AB e de AC são
MAB=A+B2, MAC=A+C2
O vetor entre esses médios é
MAB-MAC=B-C2,
logo a distância entre eles é
l|MAB-MACr|=|B-C|2=a2
Como quaisquer duas arestas adjacentes do tetraedro geram arestas do octaedro, a aresta do octaedro vale
boxeda2

Passo 3

(b) Seja s=tfraca2 a aresta do octaedro. Um octaedro regular de aresta s pode ser posicionado com vértices em
l(pmsraiz2,0,0r), l(0,pmsraiz2,0r), l(0,0,pmsraiz2r).
Cada face é um triângulo cujos centros ficam em pontos do tipo
l(pms3raiz2,,pms3raiz2,,pms3raiz2r),
formando um cubo centrado na origem.
A aresta desse cubo é a distância entre, por exemplo,
l(tfracs3raiz2,tfracs3raiz2,tfracs3raiz2r) e l(-tfracs3raiz2,tfracs3raiz2,tfracs3raiz2r), isto é
2cdots3raiz2=2s3raiz2 ,
Substituindo s=tfraca2 vem
23raiz2cdota2=a3raiz2=araiz26
Logo a aresta do cubo vale
boxedaraiz26

Passo 4

(c) Agora seja b=tfracaraiz26 a aresta do cubo. Os centros das suas faces ficam em
l(pmtfracb2,0,0r), l(0,pmtfracb2,0r), l(0,0,pmtfracb2r),
que são vértices de um octaedro regular. A aresta desse octaedro é a distância, por exemplo, entre
l(tfracb2,0,0r) e l(0,tfracb2,0r), ou seja
raizl(tfracb2r)^2 + l(tfracb2r)^2 =braiz2
Substituindo b=tfracaraiz26
1raiz2cdotaraiz26=a6
Portanto a aresta do novo octaedro é
boxeda6

Resposta

a) tfraca2
b) tfracaraiz26
c) tfraca6

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