Dados A(1,-2), B(4,-2) e C(1,2), obtenha o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC .

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo A(1,-2), B(4,-2) e C(1,2) e pede o centro da circunferência inscrita, isto é, o incentro. Para encontrá-lo, vamos usar a fórmula que dá as coordenadas do incentro como média ponderada dos vértices, com pesos iguais aos comprimentos dos lados opostos.

Passo 2

Calculamos os comprimentos dos lados:
a = BC = raiz(4-1)^2 + (-2-2)^2 = raiz9 + 16 = 5,
b = CA = raiz(1-1)^2 + (2+2)^2 = raiz0 + 16 = 4,
c = AB = raiz(4-1)^2 + (-2+2)^2 = raiz9 + 0 = 3
Aqui a está oposto a A, b a B e c a C.

Passo 3

A fórmula do incentro I(xI,yI) é
xI = a,xA + b,xB + c,xCa+b+c, yI = a,yA + b,yB + c,yCa+b+c

Passo 4

Substituindo a=5, b=4, c=3 e as coordenadas de A,B,C:
xI = 5cdot1 + 4cdot4 + 3cdot15+4+3 = 5 + 16 + 312 = 2412 = 2,
yI = 5cdot(-2) + 4cdot(-2) + 3cdot212 = -10 - 8 + 612 = -1212 = -1

Resposta

O centro da circunferência inscrita no triângulo ABC é (2,-1).

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