12.3.19 O hemisfério definido por
, tem um potencial eletrostático
. O hemisfério
tem um potencial eletrostático
. Mostre que o potencial nos pontos internos é
Sugestão: Você precisa do Exercício 12.3.8.
Passo 1
O enunciado trata de encontrar o potencial elétrico interno de um hemisfério condutor dividido em duas “metades” em potencial constante:
a “metade” com está a
e a “metade” com
está a
.
O problema é resolver a equação de Laplace em coordenadas esféricas, assumindo simetria azimutal, e aplicar a expansão em polinômios de Legendre para encaixar a condição de contorno em .
a “metade” com
O problema é resolver a equação de Laplace em coordenadas esféricas, assumindo simetria azimutal, e aplicar a expansão em polinômios de Legendre para encaixar a condição de contorno em
Passo 2
Como o potencial deve ser regular na origem, a solução geral interna é
onde
é o polinômio de Legendre de ordem
e os coeficientes
são determinados pela condição de contorno em
.
Passo 3
Na superfície
ou seja, em função de
e integrando de
a
, usando
acha-se
Como
é par só para
ímpar, concluímos
e, para
,
Passo 4
Do Exercício 12.3.8 sabemos
Logo
e o potencial interno fica
Passo 5
Para obter a forma alternativa, usamos
de onde
Substituindo em
, temos
e assim