Os dados seguintes referem-se às porcentagens da população de países sulamericanos que vivem em áreas urbanas.
Argentina
Bolívia
Brasil
Chile
Colômbia
Equador
Paraguai
Peru
Uruguai
Venezuela
Fonte: Almanaque Abril, 2002.
a) Calcule a média e o desvio padrão dos percentuais acima.
b) Elimine os dois países com menores percentuais. O que ocorrerá com o desvio padrão? Faça os cálculos para confirmar sua resposta.
Passo 1
O enunciado fornece as porcentagens de população urbana em dez países sul-americanos e pede (a) a média aritmética e o desvio-padrão desses valores e (b) o que acontece com o desvio-padrão ao excluir os dois menores percentuais. O conteúdo é estatística descritiva: vamos usar a definição de média e a fórmula do desvio-padrão populacional.
Passo 2
Para a média calculamos a soma dos valores e dividimos por . Os dados são
A soma é
logo
Passo 3
Para o desvio-padrão populacional usamos
Calculando cada (xi - 76,6)^2 e somando, obtemos sum(xi-bar x)^2 = 1366,4. Assim,
sigma = raiz1366,410 = raiz136,64 approx 11,7%
Passo 4
Agora eliminamos os dois menores valores, 56% e 63%, ficando N=8 dados:
65,;73,;74,;81,;86,;87,;90,;91
A nova soma é 647, então a nova média é
bar xnovo = 6478 = 80,875%
Para o novo desvio-padrão populacional calculamos sum(xi-bar xnovo)^2 = 610,875 e
Comparando sigmaapprox11,7% com sigmanovoapprox8,74%, vemos que o desvio-padrão diminuiu ao retirar os dois percentuais mais baixos, pois a dispersão em torno da média ficou menor.
Resposta
Média original: 76,6%.
Desvio-padrão original: 11,7% (aprox.).
Desvio-padrão após excluir 56 % e 63 %: 8,74% (aprox.), ou seja, diminuiu.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan, David Degenszajn - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 11: Matemática comercial, matemática financeira e estatística descritiva - 2ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 352