Decompor em factores os polinómios seguintes:
14. f(x)=x^4-1 Resp. f(x)=(x-1)(x+1)(x^2+1).

Passo 1

O enunciado pede para decompor em fatores o polinômio f(x)=x^4-1. Esse tipo de exercício envolve a aplicação da identidade de diferença de quadrados.

Passo 2

Reconhecemos que
x^4-1=(x^2)^2-1^2
é uma diferença de quadrados. Logo, aplicando a fórmula
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
com a=x^2 e b=1, obtemos
x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)

Passo 3

O fator x^2-1 também é uma diferença de quadrados, pois
x^2-1=x^2-1^2
Aplicando de novo
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
com a=x e b=1, segue
x^2-1=(x-1)(x+1)

Passo 4

Substituindo essa fatoração em (x^2-1)(x^2+1) temos a decomposição completa sobre os reais. Observe que x^2+1 não se decompõe em fatores lineares reais, pois não possui raízes reais.

Resposta

f(x)=(x-1)(x+1)(x^2+1)

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