Determine:
b) cos 18^circ

Passo 1

O enunciado pede para determinar cos18^circ. Vamos usar identidades de ângulo múltiplo em trigonometria, em especial a fórmula para cos(5theta), que nos permitirá obter um polinômio em c=cos18^circ.

Passo 2

A fórmula do quíntuplo ângulo é
cos(5theta)=16cos^5theta-20cos^3theta+5costheta
Tomando theta=18^circ, temos 5theta=90^circ e cos90^circ=0. Logo, substituindo:
0=16c^5-20c^3+5c

Passo 3

No polinômio obtido, fatoramos c:
0=cl(16c^4-20c^2+5r)
Como c=cos18^circneq0, exigimos
16c^4-20c^2+5=0
Fazendo y=c^2, chega-se à equação quadrática
16y^2-20y+5=0

Passo 4

Resolvendo em y:
y=20pmraiz(-20)^2-4cdot16cdot52cdot16 =20pmraiz400-32032 =20pm4raiz532 =5pmraiz58
Como 0<cos^2 18^circ<=1 e cos18^circ>0, escolhemos
c^2=5+raiz58

Passo 5

Dessa forma
cos18^circ =raiz5+raiz58 =raiz10+2raiz54

Resposta

cos18^circ = raiz10+2raiz54

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