Deduza a fórmula do volume do segmento esférico, supondo conhecida a fórmula do volume do setor esférico.

Passo 1

O enunciado pede a fórmula do volume do segmento esférico de altura h em uma esfera de raio R, sabendo que o volume do setor esférico correspondente é dado. Vamos usar geometria elementar: o segmento é a parte do setor esférico que sobra após retirar o cone reto com vértice no centro da esfera e base no círculo da seção que define o segmento.

Passo 2

O volume do setor esférico de mesma altura h é conhecido e vale
Vsetor=2pi R^2h3

Passo 3

A seção que determina o segmento é um círculo de raio
a=raizR^2-(R-h)^2 =raiz2Rh - h^2

Passo 4

O cone reto que deve ser subtraído do setor tem base de raio a e altura R-h, logo seu volume é
Vcone =13pi,a^2(,R-h,) =pi3l(2Rh - h^2r),(R-h)

Passo 5

O volume do segmento esférico é a diferença
Vsegmento =Vsetor-Vcone =2pi R^2h3 -pi3l(2Rh - h^2r)(R-h)

Passo 6

Fazendo a expansão e simplificação:
2pi R^2h3 -pi3l(2R^2h-3Rh^2+h^3r) =pi3l(3Rh^2-h^3r) =pi h^2(3R-h)3

Resposta

Vsegmento=pi,h^2(3R - h)3

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