Deduza a fórmula do volume do segmento esférico, supondo conhecida a fórmula do volume do setor esférico.
Passo 1
O enunciado pede a fórmula do volume do segmento esférico de altura
em uma esfera de raio
, sabendo que o volume do setor esférico correspondente é dado. Vamos usar geometria elementar: o segmento é a parte do setor esférico que sobra após retirar o cone reto com vértice no centro da esfera e base no círculo da seção que define o segmento.
Passo 2
O volume do setor esférico de mesma altura
é conhecido e vale
Passo 3
A seção que determina o segmento é um círculo de raio
Passo 4
O cone reto que deve ser subtraído do setor tem base de raio
e altura
, logo seu volume é
Passo 5
O volume do segmento esférico é a diferença
Passo 6
Fazendo a expansão e simplificação: