Num segmento esférico de uma só base, de uma esfera e de raio R, está inscrito um cone, cujo vértice é um dos polos relativos a sua base. Qual a área da base, se a razão entre o volume do cone e o do segmento esférico é igual à constante K ? (Discuta o problema.)
Passo 1
O enunciado trata de uma esfera de raio
da qual se extrai um segmento esférico de uma só base (isto é, uma calota de altura
). Nesse mesmo segmento inscreve-se um cone cujo vértice coincide com o polo superior da calota e cuja base é o círculo de interseção do plano da calota com a esfera. Pede-se a área da base do cone em função de
e da razão
Para resolver precisamos usar (1) a relação entre
e o raio da base do cone; (2) as fórmulas dos volumes do cone e do segmento esférico; (3) resolver para
em função de
; (4) computar a área da base.
Passo 2
Seja
a altura da calota (e também a altura do cone) medida a partir do polo superior da esfera. A base do cone tem raio
Portanto a altura do cone é
e seu raio de base é
Passo 3
O volume do cone é
O volume do segmento esférico (calota) de altura
é
Passo 4
Impondo
resolvemos para
:
Para que
e volumes façam sentido, obtém-se
Passo 5
A área da base do cone é
Substituindo
e simplificando, encontra-se
Passo 6
Discussão:
- O domínio viável é
, pois para ou a calota tende a toda a esfera ou a degolar-se junto ao polo, e . - A função
atinge seu máximo em , quando