Num segmento esférico de uma só base, de uma esfera e de raio R, está inscrito um cone, cujo vértice é um dos polos relativos a sua base. Qual a área da base, se a razão entre o volume do cone e o do segmento esférico é igual à constante K ? (Discuta o problema.)

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera de raio R da qual se extrai um segmento esférico de uma só base (isto é, uma calota de altura h). Nesse mesmo segmento inscreve-se um cone cujo vértice coincide com o polo superior da calota e cuja base é o círculo de interseção do plano da calota com a esfera. Pede-se a área da base do cone em função de R e da razão
K = Vrm coneVrm segmento
Para resolver precisamos usar (1) a relação entre h e o raio da base do cone; (2) as fórmulas dos volumes do cone e do segmento esférico; (3) resolver para h em função de K; (4) computar a área da base.

Passo 2

Seja h a altura da calota (e também a altura do cone) medida a partir do polo superior da esfera. A base do cone tem raio
r = raizR^2 - (R - h)^2 = raiz2Rh - h^2
Portanto a altura do cone é ,h e seu raio de base é ,r=raiz2Rh-h^2

Passo 3

O volume do cone é
Vrm cone=pi,r^2,h3 =pi,(2Rh - h^2),h3 =pi3l(2Rh^2 - h^3r)
O volume do segmento esférico (calota) de altura h é
Vrm segmento =pi,h^2(3R - h)3

Passo 4

Impondo
K=Vrm coneVrm segmento =tfracpi3(2Rh^2 - h^3)tfracpi3h^2(3R - h) =2R - h3R - h,
resolvemos para h:
K(3R - h)=2R - h ;Longrightarrow; h,(1 - K)=R,(2 - 3K) ;Longrightarrow; h=R,2 - 3K1 - K
Para que 0<h<2R e volumes façam sentido, obtém-se 0<K<tfrac23

Passo 5

A área da base do cone é
S=pi,r^2 =pil(2Rh - h^2r)
Substituindo h=R2-3K1-K e simplificando, encontra-se
S =pi R^2, K,(2-3K)(1-K)^2

Passo 6

Discussão:
  • O domínio viável é 0<K<tfrac23, pois para Kto0 ou Ktotfrac23 a calota tende a toda a esfera ou a degolar-se junto ao polo, e Sto0.
  • A função S(K) atinge seu máximo em K=tfrac12, quando
Smax=pi R^2

Resposta

boxedS=pi R^2,K,(2-3K)(1-K)^2, 0<K<tfrac23

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