Demonstrar, por considerações geométricas, que se uma curva tem um eixo de simetria, o círculo osculador nos pontos em que esse eixo corta a curva, tem com esta um contato de ordem ímpar. Precisar as condições de validade deste teorema.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma curva suave tem um eixo de simetria e esse eixo a corta num ponto P, então o círculo osculador em P faz com a curva um contato de ordem ímpar. O que precisamos usar é uma escolha de coordenadas que simplifique a simetria (por exemplo, colocar o eixo de simetria como o eixo y), escrever a curva localmente como gráfico de uma função y=f(x), usar a condição f(-x)=f(x) e comparar a expansão em série de Taylor de f com a da ordenada do círculo osculador.

Passo 2

Colocamos o ponto de interseção P na origem e o eixo de simetria no eixo y. Nesse caso, como P é fixo pela reflexão, a reta tangente em P deve ser horizontal, logo
f(0)=0, f'(0)=0
A condição de simetria f(-x)=f(x) implica que todos os termos ímpares na expansão de f desaparecem. Assim, se f é C^2m e não tem inflexão em P, temos
f(x) = a2,x^2 + a4,x^4 +cdots +a2m,x^2m +o(x^2m),
com a2=tfrac12f''(0)neq0.

Passo 3

O círculo osculador em P tem curvatura k=f''(0) e raio R=1/k. Sua equação centrada em (0,-R) é
x^2+(y+R)^2=R^2
Resolvendo para y em série de Taylor em torno de x=0 (e usando k=1/R) obtém-se
yc(x) = k2,x^2 + k^38,x^4 +O(x^6)

Passo 4

Agora comparamos as duas séries:
f(x)-yc(x) = l(a2-tfrack2r)x^2 + l(a4-tfrack^38r)x^4 +O(x^6)
Pelo fato de o círculo ser osculador, ajustamos o centro para que o coeficiente de x^2 zere, ou seja a2=tfrack2. Logo o primeiro termo não nulo em f(x)-yc(x) é de ordem x^4. Isso significa que a diferença começa em (x)^4, portanto o contato é de ordem
4-1=3,
que é ímpar. De modo análogo, se a expansão coincidisse até x^2m, o primeiro termo não nulo seria x^2m e o contato seria 2m-1, sempre ímpar.

Passo 5

As condições de validade são:
  1. a curva ser C^2m em P para pelo menos m>=2, de modo a ter bem definidas as derivadas até ordem 2m;
  2. o eixo de simetria cortar a curva em P com tangente perpendicular ao eixo (para que f'(0)=0);
  3. a curvatura em P ser não nula (sem ponto de inflexão), garantindo a2neq0 e que o círculo osculador exista de forma única.

Resposta

Por simetria e análise das séries de Taylor, o círculo osculador em P tem contato de ordem ímpar com a curva; exige-se apenas que a curva seja suficientemente suave ( C^2m) e tenha curvatura não nula em P.

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