Demonstrar, por considerações geométricas, que se uma curva tem um eixo de simetria, o círculo osculador nos pontos em que esse eixo corta a curva, tem com esta um contato de ordem ímpar. Precisar as condições de validade deste teorema.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma curva suave tem um eixo de simetria e esse eixo a corta num ponto
, então o círculo osculador em
faz com a curva um contato de ordem ímpar. O que precisamos usar é uma escolha de coordenadas que simplifique a simetria (por exemplo, colocar o eixo de simetria como o eixo
), escrever a curva localmente como gráfico de uma função
, usar a condição
e comparar a expansão em série de Taylor de
com a da ordenada do círculo osculador.
Passo 2
Colocamos o ponto de interseção
na origem e o eixo de simetria no eixo
. Nesse caso, como
é fixo pela reflexão, a reta tangente em
deve ser horizontal, logo
A condição de simetria
implica que todos os termos ímpares na expansão de
desaparecem. Assim, se
é
e não tem inflexão em
, temos
com
.
Passo 3
O círculo osculador em
tem curvatura
e raio
. Sua equação centrada em
é
Resolvendo para
em série de Taylor em torno de
(e usando
) obtém-se
Passo 4
Agora comparamos as duas séries:
Pelo fato de o círculo ser osculador, ajustamos o centro para que o coeficiente de
zere, ou seja
. Logo o primeiro termo não nulo em
é de ordem
. Isso significa que a diferença começa em
, portanto o contato é de ordem
que é ímpar. De modo análogo, se a expansão coincidisse até
, o primeiro termo não nulo seria
e o contato seria
, sempre ímpar.
Passo 5
As condições de validade são:
- a curva ser
em para pelo menos , de modo a ter bem definidas as derivadas até ordem ; - o eixo de simetria cortar a curva em
com tangente perpendicular ao eixo (para que ); - a curvatura em
ser não nula (sem ponto de inflexão), garantindo e que o círculo osculador exista de forma única.
Resposta
Por simetria e análise das séries de Taylor, o círculo osculador em
tem contato de ordem ímpar com a curva; exige-se apenas que a curva seja suficientemente suave (
) e tenha curvatura não nula em
.