Determinar quais das funçös seguintes sãu continuas. Establecer us pontos de descontinuidade para as descontínuas. .
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para identificar onde ela é contínua e quais são seus pontos de descontinuidade. Vamos usar a ideia de limite de potência: se então , e se então oscila ou permanece em (aqui o expoente é par).
Passo 2
Analisamos o valor de :
Se , então quando .
Se , isto é, ou , então .
Passo 3
Agora determinamos onde . Sabemos que exatamente quando , ou seja, para algum . Portanto
Passo 4
Verificamos a continuidade de f:
Se x0notinZ, então existe de<a>0 tal que nenhum inteiro está em (x0-de<a,x0+de<a). Assim, para lvert x-x0rvert<de<a temos sempre f(x)=0=f(x0), logo limxto x0f(x)=f(x0) e f é contínua em x0.
Se x0=kinZ, então f(k)=1, mas para x aproximando de k e não inteiro, f(x)=0. Logo limxto kf(x)=0neq1=f(k), e f é descontínua em cada inteiro.
Resposta
A função é contínua em todos os xnotinZ e apresenta descontinuidade em cada xinZ.
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo Exemplos Diversos.Exemplos Diversos - Ex. 40.c