Determinar quais das funçös seguintes sãu continuas. Establecer us pontos de descontinuidade para as descontínuas.
f(x)=lim m infty(cos pi x)^2 n.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=limntoinfty(cospi x)^2n
e pede para identificar onde ela é contínua e quais são seus pontos de descontinuidade. Vamos usar a ideia de limite de potência: se |a|<1 então a^nto0, e se |a|=1 então a^n oscila ou permanece em 1 (aqui o expoente é par).

Passo 2

Analisamos o valor de cospi x:
  • Se lvertcospi xrvert<1, então l(cospi xr)^2nto0 quando ntoinfty.
  • Se lvertcospi xrvert=1, isto é, cospi x=1 ou cospi x=-1, então l(cospi xr)^2n=1^2n=1.

Passo 3

Agora determinamos onde lvertcospi xrvert=1. Sabemos que cospi x=pm1 exatamente quando pi x=kpi, ou seja, x=k para algum kinZ. Portanto
f(x)= 1,&xinZ, 0,&xnotinZ

Passo 4

Verificamos a continuidade de f:
  • Se x0notinZ, então existe de<a>0 tal que nenhum inteiro está em (x0-de<a,x0+de<a). Assim, para lvert x-x0rvert<de<a temos sempre f(x)=0=f(x0), logo limxto x0f(x)=f(x0) e f é contínua em x0.
  • Se x0=kinZ, então f(k)=1, mas para x aproximando de k e não inteiro, f(x)=0. Logo limxto kf(x)=0neq1=f(k), e f é descontínua em cada inteiro.

Resposta

A função é contínua em todos os xnotinZ e apresenta descontinuidade em cada xinZ.

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