Determinar as funções racionais representadas pelas seguintes séries de Taylor:
1+2 x-4 x^3-5 x^4+7 x^6+8 x^7--++ldots.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função racional f(x) cuja série de Taylor em torno de x=0 é
1 ;+;2x;-;4x^3;-;5x^4;+;7x^6;+;8x^7;-;cdots
O conteúdo envolvido é reconhecimento de padrão de coeficientes em progressão de potências de x a cada três expoentes e soma de séries geométricas (e suas derivadas) para obter uma expressão fechada racional.

Passo 2

Observando os coeficientes, notamos que os termos em x^3n+2 são nulos e que para n>=0:
a3n = (-1)^nl(1+3nr), a3n+1 = (-1)^nl(2+3nr), a3n+2=0
Por exemplo, para n=0 a0=1,;a1=2; para n=1 a3=-4,;a4=-5; para n=2 a6=7,;a7=8, etc.

Passo 3

Escrevemos
f(x)=sumn>=0a3n,x^3n ;+;sumn>=0a3n+1,x^3n+1
Definimos as séries auxiliares
A=sumn>=0(-1)^n x^3n, B=sumn>=0n(-1)^n x^3n
Sabemos que
A=11+ x^3, B=-x^3(1+x^3)^2,
pois sum n,r^n = r/(1-r)^2 e aqui r=-x^3.

Passo 4

Agora somamos com os fatores corretos:
sumn>=0(-1)^n(1+3n)x^3n = A + 3B = 11+x^3 ;+;3cdot-x^3(1+x^3)^2 = 1-2x^3(1+x^3)^2,
sumn>=0(-1)^n(2+3n)x^3n = 2A + 3B = 21+x^3 ;+;3cdot-x^3(1+x^3)^2 = 2 - x^3(1+x^3)^2
Portanto
f(x) = sumn>=0a3n,x^3n ;+;xsumn>=0a3n+1,x^3n = 1-2x^3(1+x^3)^2 ;+; x,2 - x^3(1+x^3)^2

Passo 5

Basta juntar em único quociente:
f(x) = 1-2x^3 +2x - x^4(1+x^3)^2 = 1 +2x -2x^3 - x^4(1+x^3)^2

Resposta

boxed,f(x)=1 +2x -2x^3 - x^4(1+x^3)^2,

Exercícios de Livros Relacionados