Determinar as funções racionais representadas pelas seguintes séries de Taylor:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma função racional
cuja série de Taylor em torno de
é
O conteúdo envolvido é reconhecimento de padrão de coeficientes em progressão de potências de
a cada três expoentes e soma de séries geométricas (e suas derivadas) para obter uma expressão fechada racional.
Passo 2
Observando os coeficientes, notamos que os termos em
são nulos e que para
:
Por exemplo, para
dá
; para
dá
; para
dá
, etc.
Passo 3
Escrevemos
Definimos as séries auxiliares
Sabemos que
pois
e aqui
.
Passo 4
Agora somamos com os fatores corretos:
Portanto
Passo 5
Basta juntar em único quociente: