• Demonstrar que, se a curvatura de uma curva no plano x y fôr uma f nção monótona do comprimento do arco, a curva não será fechada, nein terá i"mitos duplos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre uma curva regular r(s) no plano, parametrizada pelo comprimento de arco s, cuja curvatura kappa(s) é estritamente monotônica em s:
  1. A curva não pode ser fechada (isto é, não pode acontecer r(L)=r(0) com tangentes iguais).
  2. A curva não pode ter “pontos duplos regulares” (isto é, não existem s1neq s2 tais que r(s1)=r(s2) e r'(s1)=r'(s2)).
Para isso vamos usar:
  • A relação entre a curvatura e o ângulo de inclinação do vetor tangente, pois se phi(s) é o ângulo que r'(s) faz com um eixo fixo, então
dphids=kappa(s)
  • O fato de que, num ponto duplo regular ou numa volta fechada, a tangente final coincide (até um múltiplo de 2pi) com a inicial, levando a igualdades de phi nos extremos e, portanto, a kappa igual nos mesmos pontos—o que contradiz monotonicidade estrita.

Passo 2

Suponha que a curva seja fechada e regular em s=0 e s=L. Então
r(L)=r(0), r'(L)=r'(0)
A segunda igualdade implica que o ângulo satisfaz
phi(L)=phi(0)+2pi m,
com minZ, e por derivação em s obtemos
kappa(L)=phi'(L)=phi'(0)=kappa(0)
Mas isso é impossível se kappa(s) for estritamente monotônica, pois então não poderia satisfazer kappa(0)=kappa(L) a menos de ser constante. Logo, não há como a curva fechar.

Passo 3

Agora suponha que existam s1<s2 tais que
r(s1)=r(s2) e r'(s1)=r'(s2)
Novamente, da igualdade dos tangentes vem
phi(s2)=phi(s1)+2pi k, kinZ,
e, diferenciando,
kappa(s2)=phi'(s2)=phi'(s1)=kappa(s1)
Mas isso contradiz a hipótese de que kappa(s) é estritamente monotônica (não existe s1neq s2 com kappa(s1)=kappa(s2)). Portanto, não existem pontos duplos regulares.

Resposta

Demonstramos que, se kappa(s) é uma função estritamente monotônica de s, então não pode haver fechamento da curva nem pontos duplos regulares, pois ambos exigiriam kappa periódica em dois valores distintos de s, contradizendo a monotonicidade.

Exercícios de Livros Relacionados