- Demonstrar que, se a curvatura de uma curva no plano
fôr uma f nção monótona do comprimento do arco, a curva não será fechada, nein terá i"mitos duplos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre uma curva regular
no plano, parametrizada pelo comprimento de arco
, cuja curvatura
é estritamente monotônica em
:
- A curva não pode ser fechada (isto é, não pode acontecer
com tangentes iguais). - A curva não pode ter “pontos duplos regulares” (isto é, não existem
tais que e ).
Para isso vamos usar:
- A relação entre a curvatura e o ângulo de inclinação do vetor tangente, pois se
é o ângulo que faz com um eixo fixo, então
- O fato de que, num ponto duplo regular ou numa volta fechada, a tangente final coincide (até um múltiplo de
) com a inicial, levando a igualdades de nos extremos e, portanto, a igual nos mesmos pontos—o que contradiz monotonicidade estrita.
Passo 2
Suponha que a curva seja fechada e regular em
e
. Então
A segunda igualdade implica que o ângulo satisfaz
com
, e por derivação em
obtemos
Mas isso é impossível se
for estritamente monotônica, pois então não poderia satisfazer
a menos de ser constante. Logo, não há como a curva fechar.
Passo 3
Agora suponha que existam
tais que
Novamente, da igualdade dos tangentes vem
e, diferenciando,
Mas isso contradiz a hipótese de que
é estritamente monotônica (não existe
com
). Portanto, não existem pontos duplos regulares.
Resposta
Demonstramos que, se
é uma função estritamente monotônica de
, então não pode haver fechamento da curva nem pontos duplos regulares, pois ambos exigiriam
periódica em dois valores distintos de
, contradizendo a monotonicidade.