Determinar as regiões nas quais as séries abaixo são convergentes:
\sum \frac{x{2}}{1-x{2}} .

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de xinR tais que a série
sumn=1^infty x^21 - x^2
converge. Aqui o que muda de termo a termo é apenas o índice n, mas cada termo é
an = x^21 - x^2
O conteúdo de matéria é teste de convergência de séries numéricas, em particular o teste da condição necessária de convergência (termo geral to 0).

Passo 2

Aplicamos a condição necessária: se
sum an converge, então
limntoinftyan=0.
Mas como an não depende de n, temos
limntoinftyan = x^21 - x^2

Passo 3

Para que a série possa convergir, precisamos de
x^21 - x^2 = 0
Resolvendo essa equação em x, obtemos
x^2 = 0 Longrightarrow x = 0

Passo 4

Verificamos o caso x=0: cada termo da série vale
0^21 - 0^2=0, logo a soma de zeros é zero (converge trivialmente).
Para todo xneq0, o termo geral não é nulo e portanto não tende a zero, implicando divergência.

Resposta

A série converge somente para x=0.

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