Determinar as regiões nas quais as séries abaixo são convergentes:
\sum \frac{x{2}}{1-x{2}} .
\sum \frac{x{2}}{1-x{2}} .
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de
tais que a série
converge. Aqui o que muda de termo a termo é apenas o índice
, mas cada termo é
O conteúdo de matéria é teste de convergência de séries numéricas, em particular o teste da condição necessária de convergência (termo geral
).
Passo 2
Aplicamos a condição necessária: se
converge, então
.
Mas como não depende de
, temos
Mas como
Passo 3
Para que a série possa convergir, precisamos de
Resolvendo essa equação em
, obtemos
Passo 4
Verificamos o caso
: cada termo da série vale
, logo a soma de zeros é zero (converge trivialmente).
Para todo , o termo geral não é nulo e portanto não tende a zero, implicando divergência.
Para todo
Resposta
A série converge somente para
.