- Demonstrar que na hipérbole equilátera
o comprimento do segmento da normal, em qualquer ponto, é igual ao raio polar deste ponto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, na hipérbole equilátera
que o comprimento do segmento da normal traçada em um ponto
até seu encontro com o eixo polar (eixo
) é igual ao raio polar
. Vamos usar derivação implícita para achar a inclinação da tangente, daí a da normal, montar sua equação e calcular a interceptação com o eixo
.
Passo 2
Diferenciando implicitamente
em relação a
obtemos
logo
Passo 3
A inclinação da normal é o negativo do inverso da derivada da tangente, isto é
Logo, a equação da normal em
é
Passo 4
Para achar onde essa normal corta o eixo
fazemos
. Substituindo em
divide-se por
e vem
O pé da normal no eixo
é
.
Passo 5
O comprimento do segmento
é
Mas
é justamente o raio polar
do ponto
.
Resposta
O segmento da normal em qualquer ponto da hipérbole
tem comprimento
ou seja, igual ao raio polar do ponto.