1. Demonstrar que na hipérbole equilátera x^{2}-y^{2}=a^{2} o comprimento do segmento da normal, em qualquer ponto, é igual ao raio polar deste ponto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, na hipérbole equilátera
x^{2}-y^{2}=a^{2},
que o comprimento do segmento da normal traçada em um ponto P(x_{0},y_{0}) até seu encontro com o eixo polar (eixo O x) é igual ao raio polar r=OP. Vamos usar derivação implícita para achar a inclinação da tangente, daí a da normal, montar sua equação e calcular a interceptação com o eixo x.

Passo 2

Diferenciando implicitamente \;x^{2}-y^{2}=a^{2} em relação a x obtemos
2x-2y\,\frac{dy}{dx}=0
logo
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}.

Passo 3

A inclinação da normal é o negativo do inverso da derivada da tangente, isto é
m_{\perp}=-\frac{1}{dy/dx}=-\frac{y_{0}}{x_{0}}.
Logo, a equação da normal em P(x_{0},y_{0}) é
y-y_{0}=-\frac{y_{0}}{x_{0}}\,(x-x_{0}).

Passo 4

Para achar onde essa normal corta o eixo x fazemos y=0. Substituindo em
0-y_{0}=-\frac{y_{0}}{x_{0}}\,(X-x_{0})
divide-se por -y_{0}\neq0 e vem
1=\frac{X-x_{0}}{x_{0}}\quad\Longrightarrow\quad X=2x_{0}.
O pé da normal no eixo O x é N(2x_{0},0).

Passo 5

O comprimento do segmento PN é
PN=\sqrt{(2x_{0}-x_{0})^{2}+(0-y_{0})^{2}} =\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}.
Mas \sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}=OP é justamente o raio polar r do ponto P.

Resposta

O segmento da normal em qualquer ponto da hipérbole x^{2}-y^{2}=a^{2} tem comprimento
PN=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}=r,
ou seja, igual ao raio polar do ponto.

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