Demonstrar que um inteiro é divisível por 8 se e somente se a soma do algarismo das unidades, mais o dobro do algarismo das dezenas, mais o quádruplo do algarismo das centenas é divisível por 8.

Passo 1

Vamos chamar de N o inteiro em questão e denotá-lo na sua forma decimal pelas suas unidades, dezenas e centenas (além dos demais dígitos). Ou seja, existe um inteiro k tal que
N = 1000,k + 100,H + 10,T + U,
onde U, T e H são respectivamente o algarismo das unidades, das dezenas e das centenas de N. Recall que dizer “ N é divisível por 8” equivale a
N equiv 0 pmod8

Passo 2

Vamos analisar as potências de 10 módulo 8. Note que
10 equiv 2 pmod8, 10^2 = 100 equiv 4 pmod8, 10^3 = 1000 equiv 0 pmod8,
e, para todo m>=3, 10^m = 10^3cdot10^m-3equiv0pmod8.

Passo 3

Aplicando essas congruências em
N = 1000,k + 100,H + 10,T + U,
obtemos
N equiv 0cdot k + 4,H + 2,T + 1cdot U pmod8,
ou seja,
N equiv U + 2,T + 4,H pmod8

Passo 4

Da congruência acima segue imediatamente que
Nequiv0pmod8 Long<=ftrightarrow U + 2,T + 4,H equiv0pmod8
Isso mostra que N é divisível por 8 se, e somente se, a soma U + 2T + 4H for divisível por 8.

Resposta

Foi demonstrado que um inteiro N é divisível por 8 exatamente quando a soma do algarismo das unidades U, mais o dobro do das dezenas 2T, mais o quádruplo do das centenas 4H é divisível por 8.

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