Demonstrar que um inteiro é divisível por 8 se e somente se a soma do algarismo das unidades, mais o dobro do algarismo das dezenas, mais o quádruplo do algarismo das centenas é divisível por 8.
Passo 1
Vamos chamar de
o inteiro em questão e denotá-lo na sua forma decimal pelas suas unidades, dezenas e centenas (além dos demais dígitos). Ou seja, existe um inteiro
tal que
onde
,
e
são respectivamente o algarismo das unidades, das dezenas e das centenas de
. Recall que dizer “
é divisível por 8” equivale a
Passo 2
Vamos analisar as potências de 10 módulo 8. Note que
e, para todo
,
.
Passo 3
Aplicando essas congruências em
obtemos
ou seja,
Passo 4
Da congruência acima segue imediatamente que
Isso mostra que
é divisível por 8 se, e somente se, a soma
for divisível por 8.
Resposta
Foi demonstrado que um inteiro
é divisível por 8 exatamente quando a soma do algarismo das unidades
, mais o dobro do das dezenas
, mais o quádruplo do das centenas
é divisível por 8.