Demonstrar que o raio do círculo inscrito no triângulo retângulo cujos lados estão cm PA, ć igual à razão dessa progressão.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num triângulo retângulo cujos lados formam uma progressão aritmética, o raio do círculo inscrito vale exatamente a razão dessa progressão. Vamos usar a definição de progressão aritmética, o Teorema de Pitágoras e a fórmula do inradius para triângulo retângulo.
Passo 2
Sejam os comprimentos dos catetos e da hipotenusa, respectivamente,
onde
é a razão da progressão aritmética. Precisamos determinar
em função de
impondo a condição de triângulo retângulo.
Passo 3
Aplicando Pitágoras aos catetos
e
e à hipotenusa
, temos
Passo 4
Expandindo e simplificando:
Essa equação fatoriza como
e a única solução positiva é
Passo 5
Portanto os lados do triângulo são
,
e
. Em todo triângulo retângulo o raio
do círculo inscrito satisfaz
Aqui isso dá
Resposta
O raio do círculo inscrito é
, ou seja, igual à razão da progressão aritmética.