Demonstrar que o raio do círculo inscrito no triângulo retângulo cujos lados estão cm PA, ć igual à razão dessa progressão.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num triângulo retângulo cujos lados formam uma progressão aritmética, o raio do círculo inscrito vale exatamente a razão dessa progressão. Vamos usar a definição de progressão aritmética, o Teorema de Pitágoras e a fórmula do inradius para triângulo retângulo.

Passo 2

Sejam os comprimentos dos catetos e da hipotenusa, respectivamente,
a,\quad a+d,\quad a+2d,
onde d>0 é a razão da progressão aritmética. Precisamos determinar a em função de d impondo a condição de triângulo retângulo.

Passo 3

Aplicando Pitágoras aos catetos a e a+d e à hipotenusa a+2d, temos
a^2 + (a+d)^2 = (a+2d)^2.

Passo 4

Expandindo e simplificando:
a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) = a^2 + 4ad + 4d^2
2a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 4ad + 4d^2
a^2 - 2ad - 3d^2 = 0.
Essa equação fatoriza como
(a - 3d)(a + d) = 0,
e a única solução positiva é
a = 3d.

Passo 5

Portanto os lados do triângulo são 3d, 4d e 5d. Em todo triângulo retângulo o raio r do círculo inscrito satisfaz
r = \frac{\text{somatório dos catetos} - \text{hipotenusa}}{2}.ó
Aqui isso dá
r = \frac{3d + 4d - 5d}{2} = \frac{2d}{2} = d.

Resposta

O raio do círculo inscrito é d, ou seja, igual à razão da progressão aritmética.

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