Representar a cotangente hiperbólica em função de frações parciais.

Passo 1

O enunciado nos pede para representar coth x em função de frações parciais, isto é, obter sua expansão de Mittag–Leffler sabendo que coth x é meromorfa com polos simples em x = kpi i. Vamos usar a fatoração de Weierstrass para sinh x e então derivar o logaritmo.

Passo 2

A fatoração de Weierstrass para sinh x é
sinh x = x prodk=1^inftyl(1 + x^2k^2pi^2r)

Passo 3

Tomando logaritmo e derivando em x, temos
ln(sinh x) = ln x ;+;sumk=1^infty ln!l(1 + x^2k^2pi^2r),
portanto
ddxln(sinh x) = 1x + sumk=1^infty ddxl(x^2/(k^2pi^2)r)1 + x^2/(k^2pi^2) = 1x + sumk=1^infty 2x/(k^2pi^2)1 + x^2/(k^2pi^2)

Passo 4

Reconhecemos que
ddxln(sinh x) = cosh xsinh x = coth x,
e simplificamos cada termo da soma:
2x/(k^2pi^2)1 + x^2/(k^2pi^2) = 2xx^2 + k^2pi^2

Passo 5

Juntando tudo, obtemos a expansão em frações parciais:
coth x = 1x ;+;sumk=1^infty2xx^2 + k^2pi^2

Resposta

coth x = 1x + sumk=1^infty2xx^2 + k^2pi^2

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