• Estabelecer os três primeiros têrmos que não se anulam da série de Taylor de raizcos x na vizinhança de x=0, aplicando o teorema do binômio à série de Taylor de cos x, e justificar o procedimento.

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da série de Taylor de raizcos x ao redor de x=0.
O conteúdo envolve compor duas séries de Taylor: primeiro expandir cos x, depois usar o teorema do binômio para (1+u)^1/2.

Passo 2

Expandimos cos x em série de Taylor em x=0 até ordem x^4:
cos x = 1 - x^22 + x^424 + O(x^6)

Passo 3

Definimos u = cos x - 1, logo
u = -x^22 + x^424 + O(x^6)
Pelo teorema do binômio para expoente 1/2, temos
(1+u)^1/2 = 1 + 12u - 18u^2 + 116u^3 + O(u^4)

Passo 4

Substituímos a expansão de u em cada termo até ordem x^4:
12u = -x^24 + x^448 + O(x^6),
-18u^2 = -18l(-x^22r)^2 + O(x^6) = -x^432 + O(x^6),
o termo tfrac116u^3 começa em x^6 e fica em O(x^6).

Passo 5

Somando os termos até x^4:
raizcos x = 1 + l(-x^24r) + l(x^448 - x^432r) + O(x^6)
Note que
148-132 = 2-396 = -196,
logo o coeficiente de x^4 é -tfrac196.

Resposta

raizcos x = 1 - x^24 - x^496 + O(x^6)

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