Demonstre:
Se 0<a<1, então lim n infty raiz[n]a=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos provar que, para um número fixo a com 0<a<1, a sequência
xn = raiz[n]a = a^1n
tende a 1 quando ntoinfty. O conteúdo aqui é limite de sequência real, usando propriedades do logaritmo e da função exponencial.

Passo 2

Definimos
yn = lnl(xnr)
Como xn=a^1/n, temos em bloco:
yn = lnl(a^1nr) = 1n,ln(a)

Passo 3

Observe que ln(a) é um número fixo e, como ntoinfty, o quociente ln(a)n tende a 0. Logo,
limntoinftyyn = limntoinftyln(a)n = 0

Passo 4

Como xn=exp(yn) e a função exponencial é contínua em todo R, podemos passar o limite pelo exponencial:
limntoinftyxn = limntoinftyexp(yn) = exp!l(limntoinftyynr) = exp(0) =1

Resposta

limntoinftyraiz[n]a = 1

Exercícios de Livros Relacionados