Mostre que, quando n infty,
(1+3n)^n e^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando ntoinfty, a sequência
an = l(1+3nr)^n
tende a e^3. O conteúdo principal aqui é limite de sequência envolvendo exponencial, e vamos usar a mudança de variável u=tfrac3n junto com o fato fundamental
limuto0(1+u)^1/u=e

Passo 2

Defina
u = 3n
Quando ntoinfty, claramente uto0^+. Reescrevendo an em função de u, note que n = 3/u. Assim,
an ;=;l(1+3nr)^n ;=;(1+u)^3/u ;=;l[(1+u)^1/ur]^3

Passo 3

Pelo limite conhecido
limuto0(1+u)^1/u = e,
levantamos tudo ao cubo e obtemos
limuto0(1+u)^3/u =l(limuto0(1+u)^1/ur)^3 = e^3

Resposta

Portanto,
limntoinftyl(1+3nr)^n = e^3

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