Prove o seguinte:
(a) Se xn c e yn c, então xn-yn é uma sucessão nula.
(b) Se xn c e xn-yn é uma sucessão nula, então yn c.
(c) Se xn e yn são sucessões nulas, então xn+yn,xn yn e k xn também o são.
(d) Se xn é uma sucessão nula e yn é uma sucessão limitada, então xn yn é uma sucessão nula. (Sugestão. |xn yn|=|xn||yn| <= k|xn| para alguma constante k.)
(e) Se xn- c, yn é limitada e zn é uma sucessão nula, então xn+yn zn c

Passo 1

O enunciado pede para provar várias propriedades básicas de limites de sucessões usando a definição de limite e de sucessão nula. Vamos precisar de:
– Definição de convergência: “ limntoinftyxn=c” significa que para todo varepsilon>0 existe N tal que, se n>= N, então lvert xn-crvert<varepsilon.
– Definição de sucessão nula: é o caso c=0.
– Desigualdade triangular: para quaisquer a,b, vale lvert a+brvert<=lvert arvert+lvert brvert.

Passo 2

Provar (a): Se xnto c e ynto c, então xn-ynto0.
Dado varepsilon>0, como xnto c existe N1 tal que, para n>= N1, lvert xn-crvert<varepsilon/2. De modo análogo, existe N2 tal que, para n>= N2, lvert yn-crvert<varepsilon/2. Seja N=max(N1,N2). Então, para n>= N,
lvert xn-ynrvert =lvert (xn-c)-(yn-c)rvert <=lvert xn-crvert+lvert yn-crvert <varepsilon2+varepsilon2 =varepsilon
Logo xn-ynto0, ou seja, é sucessão nula.

Passo 3

Provar (b): Se xnto c e xn-ynto0, então ynto c.
Dado varepsilon>0, por hipótese existe N1 tal que, para n>= N1, lvert xn-crvert<varepsilon/2, e existe N2 tal que, para n>= N2, lvert xn-ynrvert<varepsilon/2. Tomando N=max(N1,N2), para n>= N vale
lvert yn-crvert =lvert (yn-xn)+(xn-c)rvert <=lvert yn-xnrvert+lvert xn-crvert <varepsilon2+varepsilon2 =varepsilon
Assim ynto c.

Passo 4

Provar (c): Se xnto0 e ynto0, então
xn+ynto0: dado varepsilon>0, escolha N1 com lvert xnrvert<varepsilon/2 e N2 com lvert ynrvert<varepsilon/2 para n grande. Para n>= max(N1,N2),
lvert xn+ynrvert<=lvert xnrvert+lvert ynrvert<varepsilon2+varepsilon2=varepsilon
xnynto0: dado varepsilon>0, existe N1 com lvert xnrvert<raizvarepsilon e N2 com lvert ynrvert<raizvarepsilon. Para n>=max(N1,N2),
lvert xnynrvert=lvert xnrvert,lvert ynrvert<raizvarepsiloncdotraizvarepsilon=varepsilon
k xnto0 (para constante k): dado varepsilon>0, como xnto0 existe N com lvert xnrvert<varepsilon/|k|. Então para n>= N,
lvert kxnrvert=|k|,lvert xnrvert<|k|cdotvarepsilon|k|=varepsilon

Passo 5

Provar (d): Se xnto0 e yn é limitada, então xnynto0.
Como yn é limitada, existe constante M>0 com lvert ynrvert<= M para todo n. Dado varepsilon>0, como xnto0 existe N tal que lvert xnrvert<varepsilon/M para n>= N. Então, para n>= N,
lvert xnynrvert=lvert xnrvert,lvert ynrvert<= Mlvert xnrvert<Mcdotvarepsilon M=varepsilon

Passo 6

Provar (e): Se xnto c, yn é limitada e znto0, então xn+ynznto c.
Pela parte (d), ynznto0. Então escrevemos
xn+ynzn =(xn-c)+underbrace(ynzn)to0+c,
e aplicamos (a) e (b): a soma de algo que converge a 0 com xn-c (que converge a 0) converge a 0, logo xn+ynznto c.

Resposta

As propriedades (a)–(e) foram demonstradas conforme o enunciado.

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