Prove o seguinte:
(a) Se e , então é uma sucessão nula.
(b) Se e é uma sucessão nula, então .
(c) Se e são sucessões nulas, então e também o são.
(d) Se é uma sucessão nula e é uma sucessão limitada, então é uma sucessão nula. (Sugestão. para alguma constante .)
(e) Se , é limitada e é uma sucessão nula, então
Passo 1
O enunciado pede para provar várias propriedades básicas de limites de sucessões usando a definição de limite e de sucessão nula. Vamos precisar de:
– Definição de convergência: “” significa que para todo existe tal que, se , então .
– Definição de sucessão nula: é o caso .
– Desigualdade triangular: para quaisquer , vale .
Passo 2
Provar (a): Se e , então .
Dado , como existe tal que, para , . De modo análogo, existe tal que, para , . Seja . Então, para ,
Logo , ou seja, é sucessão nula.
Passo 3
Provar (b): Se e , então .
Dado , por hipótese existe tal que, para , , e existe tal que, para , . Tomando , para vale
Assim .
Passo 4
Provar (c): Se e , então
– : dado , escolha com e com para grande. Para ,
– : dado , existe com e com . Para ,
– (para constante ): dado , como existe com . Então para ,
Passo 5
Provar (d): Se e é limitada, então .
Como é limitada, existe constante com para todo . Dado , como existe tal que para . Então, para ,
Passo 6
Provar (e): Se , é limitada e , então .
Pela parte (d), . Então escrevemos
e aplicamos (a) e (b): a soma de algo que converge a 0 com xn-c (que converge a 0) converge a 0, logo xn+ynznto c.
Resposta
As propriedades (a)–(e) foram demonstradas conforme o enunciado.
Cálculo - Wilfred Kaplan - Calculo Avancado - Vol 2 - 1ª Edição - Capítulo 8.8.3 - Ex. 2