Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para infty ou -infty, quais divergem sem limite infinito?
1 cdot 3 cdots(2 n-1)2 cdot 4 cdots(2 n)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a sequência
an = 1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n)
em termos de convergência ou divergência. O conteúdo é limites de sequências de produtos e vamos usar manipulações com fatoriais e o coeficiente binomial para encontrar o limite.

Passo 2

Observamos que o produto dos pares e o produto dos ímpares podem ser escritos com duplo fatorial e fatoriais. Em particular,
(2n)!! = 2cdot4cdot6cdots(2n) = 2^n,n! e (2n-1)!!=1cdot3cdot5cdots(2n-1)=(2n)!2^n,n!
Logo,
an =(2n-1)!!(2n)!! =(2n)!2^n,n!2^n,n! =(2n)!4^n,(n!)^2 =binom2nn4^n

Passo 3

Para analisar o limite de an=binom2nn4^n, usamos a estimativa assintótica do coeficiente binomial central:
binom2nnsim4^nraizpi n (ntoinfty)
Substituindo,
an sim4^nraizpi n;14^n =1raizpi n

Passo 4

Como 1raizpi nto0 quando ntoinfty, concluímos que
limntoinftyan = 0
Portanto a sequência converge (não diverge) e seu limite é zero.

Resposta

A sequência converge e limntoinfty1cdot3cdots(2n-1)2cdot4cdots(2n)=0.

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