Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para
ou
, quais divergem sem limite infinito?
Passo 1
O enunciado pede para classificar a sequência
em termos de convergência ou divergência. O conteúdo é limites de sequências de produtos e vamos usar manipulações com fatoriais e o coeficiente binomial para encontrar o limite.
Passo 2
Observamos que o produto dos pares e o produto dos ímpares podem ser escritos com duplo fatorial e fatoriais. Em particular,
Logo,
Passo 3
Para analisar o limite de
, usamos a estimativa assintótica do coeficiente binomial central:
Substituindo,
Passo 4
Como
quando
, concluímos que
Portanto a sequência converge (não diverge) e seu limite é zero.
Resposta
A sequência converge e
.