Demonstre:
Se a >= 1, então lim n infty raiza=1.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dado a>=1, a sequência
xn = raiz[n]a = a^1/n
tem limite igual a 1 quando ntoinfty. Vamos usar propriedades de logaritmo e exponencial, e o fato de que a função exp é contínua.

Passo 2

Se a=1, então para todo n vale
xn = raiz[n]1 = 1,
logo limntoinftyxn = 1 de forma imediata.

Passo 3

Agora suponha a>1. Tome o logaritmo natural de xn:
ln(xn) = lnl(a^1/nr) = 1n,ln(a)
Como ln(a) é constante e limntoinfty1n=0, segue que
limntoinftyln(xn) = 0

Passo 4

Como a função exp é contínua em todo R, aplicando-a ao limite acima obtemos
limntoinftyxn = limntoinftyexpl(ln(xn)r) = expl(limntoinftyln(xn)r) = exp(0) = 1

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados