Mostre que, quando n infty,
(1-1n^2)^n 1

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
an = l(1 - 1n^2r)^n
quando n to infty. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência com potência dependente de n. Para resolver, vamos usar o logaritmo natural, que transforma potências em produtos, e depois recorrer ao desenvolvimento de Taylor de ln(1+x) para x pequeno.

Passo 2

Defina
an = l(1 - 1n^2r)^n
Para estudar limntoinftyan, considere
ln(an) = n ,lnl(1 - 1n^2r)

Passo 3

Como ntoinfty, temos 1n^2to 0. Para x pequeno vale
ln(1 - x) = -x + O(x^2)
Substituindo x = 1n^2
lnl(1 - 1n^2r) = -1n^2 + Ol(1n^4r)
Multiplicando por n:
ln(an) = nl(-1n^2 + O(tfrac1n^4)r) = -1n + Ol(1n^3r)
Logo ln(an) to 0 quando ntoinfty.

Passo 4

Se ln(an) to 0, então
an = e^ln(an) longrightarrow e^0 = 1

Resposta

limntoinftyl(1 - 1n^2r)^n = 1

Exercícios de Livros Relacionados