Demonstre:
Se
e
é um inteiro positivo, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
e
inteiro positivo, a sequência
tende a
quando
. O conteúdo envolve limites de sequências e comparação de crescimento exponencial versus polinomial. Vamos usar o critério da razão para sequências.
Passo 2
Calculemos a razão dos termos consecutivos:
Como
segue que
Logo existe
com
e um
tais que, para todo
,
Passo 3
Para
note que
. Iterando essa desigualdade
vezes a partir de
, obtemos
Como
, temos
quando
, e portanto
. Isso implica que
quando
.