Demonstre:
Se a>1 e k é um inteiro positivo, então lim n infty a^n / n^k=+infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para ,a>1 e k inteiro positivo, a sequência
un = a^nn^k
tende a +infty quando ntoinfty. O conteúdo envolve limites de sequências e comparação de crescimento exponencial versus polinomial. Vamos usar o critério da razão para sequências.

Passo 2

Calculemos a razão dos termos consecutivos:
un+1un = a^n+1/(n+1)^k,a^n/n^k = a;gl(n,n+1gr)^k
Como
limntoinftygl(nn+1gr)^k = 1,
segue que
limntoinftyun+1un = a > 1
Logo existe r com 1<r<a e um NinN tais que, para todo n>= N,
un+1un;>=;r

Passo 3

Para n>= N note que un+1>= r,un. Iterando essa desigualdade m vezes a partir de n=N, obtemos
uN+m ;>=; uN,r^m
Como r>1, temos r^mtoinfty quando mtoinfty, e portanto uN+mtoinfty. Isso implica que
,unto+infty quando ntoinfty.

Resposta

limntoinftya^nn^k=+infty

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