Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para infty ou -infty, quais divergem sem limite infinito?
2^npi^n-1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a sequência
an = 2^npi^,n-1
se ela converge, diverge para +infty ou para -infty, ou diverge sem limite infinito. O conteúdo aqui é limite de sequência, em particular de progressão geométrica.

Passo 2

Reescrevemos an de modo a evidenciar a forma geométrica. Observe que
2^npi^,n-1 = 2^npi^n,pi = pi;l(2pir)^!n
Assim an é da forma
an = pi,r^n,
com razão
r = 2pi

Passo 3

Como pi>3, temos l|tfrac2pir|<1. Para uma progressão geométrica pi,r^n com |r|<1, vale
limntoinftyr^n = 0,
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limntoinftyan = limntoinftypi,r^n = picdot 0 = 0
Portanto a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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