Quais das seguintes sucessões complexas convergem?
n-i sen nn^2+3

Passo 1

O enunciado dá a sequência complexa
un = n - i,sin nn^2+3
e pede para verificar se ela converge. O conteúdo aqui é convergência de sequência complexa, que ocorre se, e somente se, as partes real e imaginária convergirem separadamente.

Passo 2

Vamos escrever
un = an + i,bn
onde
an = nn^2+3, bn = -sin nn^2+3

Passo 3

Analisando a parte real an:
an = nn^2+3 = 1n + 3/n,
Como ntoinfty, n+3/ntoinfty e portanto
limntoinftyan = 0

Passo 4

Analisando a parte imaginária bn:
|bn| = |sin n|n^2+3 <= 1n^2+3
Como 1/(n^2+3)to0 quando ntoinfty, segue
limntoinftybn = 0

Passo 5

Como ambas as partes real e imaginária tendem a zero, a sequência un converge para
0 + icdot0 = 0

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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