Quais das seguintes sucessões complexas convergem?
(1+iraiz2)^n.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência complexa ll(tfrac1+iraiz2r)^nr e pede para verificar sua convergência. O conteúdo aqui é análise de potências de números complexos, usando o critério baseado no módulo e no argumento de zin C.

Passo 2

Calculemos o módulo e o argumento de
z = 1+iraiz2
Primeiro,
|z| = |1+i|raiz2 = raiz1^2+1^2raiz2 = raiz2raiz2 = 1
Em seguida, o número 1+i tem argumento pi/4, logo
z = e^ipi/4

Passo 3

Em geral, a sequência z^n converge somente se |z|<1 (então tende a 0) ou se |z|=1 e z=1 (então é constante). Aqui temos |z|=1 mas z=e^ipi/4neq1. De fato
z^n = e^inpi/4
é periódica de período 8 e não se aproxima de nenhum único valor quando ntoinfty.

Resposta

A sequência ll(tfrac1+iraiz2r)^nr não converge.

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