Demonstre que a área de um triângulo é o quádruplo da área do triângulo cujos vértices são os pontos médios de seus lados.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se P, Q e R são os pontos médios dos lados de um triângulo triang<= ABC, então
área(triang<= ABC) ;=; 4,área(triang<= PQR) áá
O conteúdo usado será geometria de triângulos, em particular o Teorema do Segmento Médio e semelhança de triângulos, além da relação entre razão de semelhança e razão de áreas.

Passo 2

Denotemos
P = ponto médio de BC, Q = ponto médio de CA, R = ponto médio de AB ééé
Pelo Teorema do Segmento Médio em triângulos, temos:
PQ paral<=l AB e PQ = tfrac12,AB,
e, analogamente,
PR paral<=l AC, PR = tfrac12,AC, QR paral<=l BC, QR = tfrac12,BC

Passo 3

Como cada lado de triang<= PQR é metade do correspondente em triang<= ABC e é paralelo a ele, os dois triângulos são semelhantes, com razão de semelhança linear
lambda = PQAB = 12

Passo 4

Para triângulos semelhantes, a razão entre as áreas é o quadrado da razão linear. Logo,
área(triang<= PQR)área(triang<= ABC) = lambda^2 = l(tfrac12r)^2 = tfrac14 áá
Isso implica
área(triang<= ABC) = 4,área(triang<= PQR) áá

Resposta

área(triang<= ABC)=4,área(triang<= PQR)áá.

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