Demonstre que a área de um triângulo é o quádruplo da área do triângulo cujos vértices são os pontos médios de seus lados.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
,
e
são os pontos médios dos lados de um triângulo
, então
O conteúdo usado será geometria de triângulos, em particular o Teorema do Segmento Médio e semelhança de triângulos, além da relação entre razão de semelhança e razão de áreas.
Passo 2
Denotemos
Pelo Teorema do Segmento Médio em triângulos, temos:
e, analogamente,
Passo 3
Como cada lado de
é metade do correspondente em
e é paralelo a ele, os dois triângulos são semelhantes, com razão de semelhança linear
Passo 4
Para triângulos semelhantes, a razão entre as áreas é o quadrado da razão linear. Logo,
Isso implica