Demonstre que, se os elementos de uma matriz quadrada
são números inteiros, então o determinante de M é um número inteiro.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se todos os elementos de uma matriz quadrada
são inteiros, então
também é inteiro. O conteúdo principal aqui é a definição do determinante via fórmula de Leibniz e a propriedade de que soma e produto de inteiros são inteiros.
Passo 2
Lembremos a fórmula de Leibniz para o determinante de
:
onde
é o conjunto de todas as permutações de
e
vale
ou
.
Passo 3
Cada termo do somatório é
Como cada
, o produto
é um inteiro. E multiplicar por
também produz um inteiro.
Passo 4
O determinante é a soma de todos esses termos, isto é, soma finita de inteiros. Como soma de inteiros é inteiro, conclui-se que
.
Resposta
Portanto, se todos os elementos de
são inteiros, então
é um número inteiro.