Demonstre que, se os elementos de uma matriz quadrada M são números inteiros, então o determinante de M é um número inteiro.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se todos os elementos de uma matriz quadrada MinZ^ntimes n são inteiros, então det(M) também é inteiro. O conteúdo principal aqui é a definição do determinante via fórmula de Leibniz e a propriedade de que soma e produto de inteiros são inteiros.

Passo 2

Lembremos a fórmula de Leibniz para o determinante de M=(mij):
det(M) =sumsigmain Snsgn(sigma)prodi=1^nmi,sigma(i),
onde Sn é o conjunto de todas as permutações de 1,2,dots,n e sgn(sigma) vale +1 ou -1.

Passo 3

Cada termo do somatório é
sgn(sigma),prodi=1^nmi,sigma(i)
Como cada mi,sigma(i)inZ, o produto prodi=1^nmi,sigma(i) é um inteiro. E multiplicar por sgn(sigma)inpm1 também produz um inteiro.

Passo 4

O determinante é a soma de todos esses termos, isto é, soma finita de inteiros. Como soma de inteiros é inteiro, conclui-se que det(M)inZ.

Resposta

Portanto, se todos os elementos de M são inteiros, então det(M) é um número inteiro.

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