Prove que:
|ccc cotg A2 & cotg B2 & cotg C2 a & b & c 1 & 1 & 1 |=0
sendo A, B, C ângulos de um triângulo e a, b, c os lados respectivamente opostos aos mesmos ângulos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante
cotA2 & cotB2 & cotC2 a & b & c 1 & 1 & 1
é zero, onde A,B,C são ângulos de um triângulo e a,b,c são os lados opostos.
Conteúdo envolvido: identidade de meio ângulo num triângulo, semiperímetro s e raio do círculo inscrito r, além de expansão de determinante e soma algébrica.

Passo 2

Vamos expandir o determinante pela última linha. Chamando
u=cotA2, v=cotB2, w=cotC2,
temos
u & v & w a & b & c 1 & 1 & 1 =1cdot v & w b & c -1cdot u & w a & c +1cdot u & v a & b
Cada menor 2times2
v & w b & c =vc - wb, u & w a & c =uc - wa, u & v a & b =ub - va
Logo o determinante vale
vc - wb - (uc - wa) + (ub - va) = u(b-c) + v(c-a) + w(a-b)

Passo 3

Usamos agora a identidade de meio ângulo em triângulo:
tanA2 = rs-a,
onde s=a+b+c2 e r é o raio do círculo inscrito. Então
cotA2 = s-ar, cotB2 = s-br, cotC2 = s-cr

Passo 4

Substituindo em
u(b-c) + v(c-a) + w(a-b)
vem
s-ar(b-c) + s-br(c-a) + s-cr(a-b) =1rl[(s-a)(b-c)+(s-b)(c-a)+(s-c)(a-b)r]
Basta verificar que
N ;=;(s-a)(b-c)+(s-b)(c-a)+(s-c)(a-b)=0
De fato, com s=tfraca+b+c2 expandem-se os três produtos e observa-se que todos os termos se cancelam entre si, resultando em zero.

Resposta

Como o numerador acima é zero, o determinante todo vale zero. Portanto
cotA2 & cotB2 & cotC2 a & b & c 1 & 1 & 1 =0

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