sendo A, B, C ângulos de um triângulo e a, b, c os lados respectivamente opostos aos mesmos ângulos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o determinante
cotA2 & cotB2 & cotC2 a & b & c 1 & 1 & 1
é zero, onde A,B,C são ângulos de um triângulo e a,b,c são os lados opostos.
Conteúdo envolvido: identidade de meio ângulo num triângulo, semiperímetro s e raio do círculo inscrito r, além de expansão de determinante e soma algébrica.
Passo 2
Vamos expandir o determinante pela última linha. Chamando
u=cotA2, v=cotB2, w=cotC2,
temos
u & v & w a & b & c 1 & 1 & 1 =1cdot v & w b & c -1cdot u & w a & c +1cdot u & v a & b
Cada menor 2times2 dá
v & w b & c =vc - wb, u & w a & c =uc - wa, u & v a & b =ub - va
De fato, com s=tfraca+b+c2 expandem-se os três produtos e observa-se que todos os termos se cancelam entre si, resultando em zero.
Resposta
Como o numerador acima é zero, o determinante todo vale zero. Portanto
cotA2 & cotB2 & cotC2 a & b & c 1 & 1 & 1 =0
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 335