Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para infty ou -infty, quais divergem sem limite infinito?
nln (n+1)!

Passo 1

O enunciado pede para classificar a sequência
an = nlnl((n+1)!r)
quando ntoinfty. Como aparece o logaritmo de um fatorial, vamos estimar o crescimento de lnl((n+1)!r) usando uma aproximação assintótica (por exemplo Stirling) ou um confronto com uma integral, e então ver o que acontece com an.

Passo 2

Usando a desigualdade sumk=2^n+1ln k >= integral2^n+1ln x,dx, temos
lnl((n+1)!r) = sumk=1^n+1ln k >= sumk=2^n+1ln k >= integral2^n+1ln x,dx = (n+1)ln(n+1)-(n+1)-l(2ln2-2r)
Portanto, para n grande existe constante C tal que
lnl((n+1)!r)>= (n+1)ln(n+1)-(n+1)-C
Isto implica
an = nlnl((n+1)!r) <= n(n+1)ln(n+1)-(n+1)-C = 1(1+tfrac1n)ln(n+1)-(1+tfrac1n)-tfrac Cn
Ao fazer ntoinfty, o denominador cresce como ln ntoinfty, logo
an ;longrightarrow; 0

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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