Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para
ou
, quais divergem sem limite infinito?
Passo 1
O enunciado pede para classificar a sequência
quando
. Como aparece o logaritmo de um fatorial, vamos estimar o crescimento de
usando uma aproximação assintótica (por exemplo Stirling) ou um confronto com uma integral, e então ver o que acontece com
.
Passo 2
Usando a desigualdade
, temos
Portanto, para
grande existe constante
tal que
Isto implica
Ao fazer
, o denominador cresce como
, logo
Resposta
A sequência converge e seu limite é
.