Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para infty ou -infty, quais divergem sem limite infinito?
raizn cos pi n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a sequência
an = raizn,cos(pi n)
no que diz respeito a convergência, divergência para +infty ou -infty, ou divergência sem limite infinito. O conteúdo envolvido é limite de sequência e testes de convergência/divergência.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica para múltiplos de pi:
cos(pi n) = (-1)^n

Passo 3

Substituindo na expressão de an, obtemos
an = raizn,cos(pi n) = (-1)^n,raizn

Passo 4

Analisamos o módulo de an:
|an| = raizn,longrightarrow,infty
quando ntoinfty. Logo, não pode haver um limite finito para an.

Passo 5

Examinamos as subsequências de índices pares e ímpares:
  • Para n=2k: a2k = (+1),raiz2k ;longrightarrow; +infty
  • Para n=2k+1: a2k+1 = (-1),raiz2k+1 ;longrightarrow; -infty
Isso mostra que não há limite único, nem tende somente a +infty nem somente a -infty.

Resposta

A sequência diverge sem limite finito nem infinito.

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