Enuncie as propriedades que permitem escrever sucessivamente:
|lll 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 |=|rrr 1 & 3 & 4 4 & 9 & 10 7 & 15 & 16 |=6 cdot|lll 1 & 1 & 2 4 & 3 & 5 7 & 5 & 8 |=6 cdot|rrr 4 & 1 & 2 12 & 3 & 5 20 & 5 & 8 |=0

Passo 1

O enunciado nos mostra uma sequência de igualdades envolvendo determinantes de matrizes obtidas por operações elementares de colunas e, por fim, conclui que o determinante é zero. O conteúdo aqui é teoria de determinantes: invariância por adição de múltiplos de uma coluna a outra, extração de fatores escalares de colunas e critério de nulidade quando há colunas proporcionais.

Passo 2

Para ir de
1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 para 1 & 3 & 4 4 & 9 & 10 7 & 15 & 16
usamos a propriedade de que “substituir uma coluna Cj por Cj + k,Ci não altera o determinante”. Aqui fizemos simultaneamente
C2 to C2 + C1, C3 to C3 + C1

Passo 3

Para ir de
1 & 3 & 4 4 & 9 & 10 7 & 15 & 16 para 6cdot 1 & 1 & 2 4 & 3 & 5 7 & 5 & 8
extraímos o fator 3 da segunda coluna e o fator 2 da terceira. A propriedade é
det(dots,,k,Cj,dots)=k,det(dots,Cj,dots),
logo o determinante ganha o fator 3cdot2=6.

Passo 4

Finalmente, ao observar que na matriz
4 & 1 & 2 12 & 3 & 5 20 & 5 & 8
a coluna 1 é exatamente 4 vezes a coluna 2, usamos a propriedade de que “se duas colunas são proporcionais, o determinante é zero”. Daí
6cdot 1 & 1 & 2 4 & 3 & 5 7 & 5 & 8 = 6cdot 4 & 1 & 2 12 & 3 & 5 20 & 5 & 8 =0

Resposta

1. Substituir uma coluna Cj por Cj + k,Ci deixa o determinante inalterado.
2. Fatorar um escalar k de uma coluna:
det(dots,,k,Cj,dots)=k,det(dots,Cj,dots)
3. Se duas colunas são proporcionais, o determinante vale zero.

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