Demonstre que uma mediana de um triângulo divide-o em partes equivalentes.

Passo 1

Vamos provar que, num triângulo ABC, a mediana AM (onde M é o ponto médio de BC) divide o triângulo em duas regiões de mesma área. Para isso, vamos usar a definição de ponto médio e a fórmula da área de um triângulo
A = tfrac12 times (base) times (a<ura)

Passo 2

Seja M o ponto médio de BC. Por definição,
BM = MC
e o segmento AM é a mediana relativa ao lado BC.
Relembre que, ao calcular a área de um triângulo, podemos escolher qualquer lado como base, desde que usemos a altura correspondente. Aqui vamos calcular as áreas dos triângulos ABM e ACM tomando como bases os segmentos BM e MC, respectivamente. Ambos os triângulos compartilham a mesma altura h, que é a distância do vértice A até a reta BC.

Passo 3

Aplicando a fórmula da área nesses dois triângulos, temos
AABM = tfrac12 , BM times h, AACM = tfrac12 , MC times h
Como BM = MC, segue imediatamente que
AABM = AACM

Passo 4

Concluímos que a mediana AM divide o triângulo ABC em dois triângulos de áreas iguais, ou seja, em partes equivalentes.

Resposta

A mediana divide o triângulo em duas regiões de mesma área.

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