Demonstre que uma mediana de um triângulo divide-o em partes equivalentes.
Passo 1
Vamos provar que, num triângulo
, a mediana
(onde
é o ponto médio de
) divide o triângulo em duas regiões de mesma área. Para isso, vamos usar a definição de ponto médio e a fórmula da área de um triângulo
Passo 2
Seja
o ponto médio de
. Por definição,
e o segmento
é a mediana relativa ao lado
.
Relembre que, ao calcular a área de um triângulo, podemos escolher qualquer lado como base, desde que usemos a altura correspondente. Aqui vamos calcular as áreas dos triângulos e
tomando como bases os segmentos
e
, respectivamente. Ambos os triângulos compartilham a mesma altura
, que é a distância do vértice
até a reta
.
Relembre que, ao calcular a área de um triângulo, podemos escolher qualquer lado como base, desde que usemos a altura correspondente. Aqui vamos calcular as áreas dos triângulos
Passo 3
Aplicando a fórmula da área nesses dois triângulos, temos
Como
, segue imediatamente que
Passo 4
Concluímos que a mediana
divide o triângulo
em dois triângulos de áreas iguais, ou seja, em partes equivalentes.
Resposta
A mediana divide o triângulo em duas regiões de mesma área.