São dados, num plano, as duas retas r1, de equação y=2, e r2 com equações paramétricas x=-2+lambda e y=2+2 lambda e o ponto A=(1,3).
a) Entre as retas que passam por A, determine a reta r para a qual as distâncias de A às interseções com r1 e r2 sejam iguais.
b) Satisfeita a condição do item anterior, determine a área do triângulo formado pelas retas r, r1 e r2.

Passo 1

O enunciado dá as retas
e o ponto .
a) Queremos a reta passando por tal que as distâncias de até as interseções com e sejam iguais.
b) Depois, com essa reta , calcular a área do triângulo formado por , e .
Para isso usaremos: equação geral de reta, interseção entre retas, fórmula da distância entre pontos e área de triângulo por determinante.

Passo 2

Seja r a reta por A com declive m, ou seja,
r:;y-3=m,(x-1)
  1. Interseção P de r com r1 ( y=2):
2-3=m(x-1);Rightarrow;x=1-1m,
logo
P=l(1-tfrac1m,,2r)
  1. Interseção Q de r com r2. Note que r2 também vale y=2x+6. Então igualamos
m(x-1)+3=2x+6 ;Rightarrow; x=m+3m-2,
e
y=2l(tfracm+3m-2r)+6 =2(m+3)+6(m-2)m-2 =8m-6m-2
Assim
Q=l(tfracm+3m-2,,tfrac8m-6m-2r)

Passo 3

Calculamos as distâncias:
AP=raizl(1-tfrac1m-1r)^2+(2-3)^2 =raiz1m^2+1 =raiz1+m^2|m|,
AQ=raizl(tfracm+3m-2-1r)^2 +l(tfrac8m-6m-2-3r)^2 =5raiz1+m^2|m-2|
Impor ;AP=AQ
1|m|=5|m-2| ;Longrightarrow; |m-2|=5|m| ;Longrightarrow; m=-tfrac12 ou m=tfrac13
Para m=tfrac13 verifica-se que as três interseções ficam colineares (área nula), logo descartamos. Ficamos com
m=-tfrac12

Passo 4

A reta procurada r tem declive -tfrac12 e passa por (1,3):
y-3=-tfrac12,(x-1)
Em forma geral:
2y-6=-(x-1) ;Longrightarrow; x+2y-7=0

Passo 5

O ponto de interseção S de r1 e r2 é solução de y=2 e y=2x+6, logo S=(-2,2).
P=(1-1/m,2)=(1+2,2)=(3,2) e Q para m=-tfrac12 seria
xQ=m+3m-2 =-tfrac12+3-,tfrac12-2 =tfrac52-tfrac52=-1, yQ=2xQ+6=4
Ou seja Q=(-1,4).
A área do triângulo PSQ é
A =12l|detl(SP,SQr)r| =12l|(3-(-2)),(4-2)-0cdot(dots)r| =12cdot5cdot2 =5

Resposta

A reta é
boxedx+2y-7=0
e a área do triângulo formado por r, r1 e r2 é
boxed5

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