São dados, num plano, as duas retas , de equação , e com equações paramétricas e e o ponto .
a) Entre as retas que passam por A, determine a reta para a qual as distâncias de A às interseções com e sejam iguais.
b) Satisfeita a condição do item anterior, determine a área do triângulo formado pelas retas e .
Passo 1
O enunciado dá as retas
e o ponto .
a) Queremos a reta passando por tal que as distâncias de até as interseções com e sejam iguais.
b) Depois, com essa reta , calcular a área do triângulo formado por , e .
Para isso usaremos: equação geral de reta, interseção entre retas, fórmula da distância entre pontos e área de triângulo por determinante.
Passo 2
Seja a reta por com declive , ou seja,
Interseção de com ():
logo
Interseção de com . Note que também vale . Então igualamos
e
Assim
Passo 3
Calculamos as distâncias:
Impor dá
Para verifica-se que as três interseções ficam colineares (área nula), logo descartamos. Ficamos com
Passo 4
A reta procurada tem declive e passa por :
Em forma geral:
Passo 5
O ponto de interseção de e é solução de e , logo .
Já e para seria
Ou seja .
A área do triângulo é
Resposta
A reta é
boxedx+2y-7=0
e a área do triângulo formado por r, r1 e r2 é
boxed5
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 7: Geometria analítica - 6ª Edição - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 221