Demonstre que num plano existem infinitas retas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num plano, existem infinitas retas. Vamos usar conceitos básicos de geometria plana: reta, ponto e circunferência. A ideia é fixar uma reta \ell e um ponto A fora dela, e então, variando o raio de circunferências centradas em A, obter infinitas retas distintas que passam por A e pelos pontos de interseção com \ell.

Passo 2

Escolha uma reta \ell qualquer e um ponto A que não pertença a \ell. Defina
d = \min\{AX : X\in\ell\}
que é a distância de A até \ell. Como A\notin\ell, tem-se d>0.

Passo 3

Para cada inteiro k\ge1 tal que
R_k = k > d,
considere a circunferência
C_k = \{X : AX = R_k\}.
Por R_k>d, a circunferência C_k intersecta a reta \ell em dois pontos distintos, digamos B_k e C_k'. Cada um desses pontos gera uma reta através de A:
r_k = AB_k \quad\text{e}\quad r'_k = AC_k'.

Passo 4

Se k\neq j, então R_k\neq R_j, logo C_k e C_j são circunferências diferentes e suas interseções com \ell também são distintas. Isso garante que as retas r_k (e as r'_k) são todas diferentes entre si. Como existem infinitos inteiros k, obtemos infinitas retas distintas no plano.

Resposta

Logo, num plano existem infinitas retas.
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