Demonstre que o raio da esfera tangente às seis arestas de um tetraedro regular é média proporcional entre o raio da esfera inscrita e o raio da esfera circunscrita ao mesmo tetraedro.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num tetraedro regular, o raio rho da esfera que fica tangente às seis arestas é média proporcional entre o raio da esfera inscrita r e o raio da esfera circunscrita R.
Conteúdo: geometria espacial de tetraedro regular e relações entre distâncias do centro aos vértices, faces e arestas.

Passo 2

Seja a a aresta do tetraedro. Primeiro vamos achar R e r.
A área de cada face triangular é
Aface = a^2raiz34,
e o volume do tetraedro é
V = a^3raiz212
Para qualquer pirâmide, o raio da esfera inscrita satisfaz
r = 3Várea total á
Como o tetraedro tem 4 faces, a área total é 4Aface=a^2raiz3. Logo
r = 3,(a^3raiz2/12)a^2raiz3 = araiz24raiz3 = araiz612
O centro de massa coincide com o centro da circunferência circunscrita, e a distância desse centro a qualquer vértice é
R = araiz64

Passo 3

Agora calculamos rho, a distância do centro O do tetraedro a uma aresta, digamos AB. Usamos a fórmula da distância de um ponto à reta em 3D:
rho = llvert OAtimesOBrrvertlvert ABrvert
Sabemos lvert OArvert=lvert OBrvert=R e o ângulo entre OA e OB é arccos(-tfrac13), então
llvert OAtimesOBrrvert = R^2sintheta = R^2raiz1-l(-tfrac13r)^2 = R^22raiz23
Como lvert ABrvert=a, obtemos
rho = R^2,(2raiz2/3)a

Passo 4

Substituindo R=araiz64 em rho:
R^2 = 6a^216 = 3a^28, rho = l(3a^2/8r),(2raiz2/3)a = a^2raiz24a = araiz24
Por outro lado, a média proporcional de r e R é
raizrR = raizaraiz612;cdot;araiz64 = raiza^2cdot648 = araiz24

Resposta

Mostramos que rho=araiz24 e raizrR=araiz24, logo
rho^2 = rR Longrightarrow rho = raizrR,
ou seja, o raio da esfera tangente às arestas é média proporcional entre os raios da esfera inscrita e da esfera circunscrita.

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