Demonstre que o raio da esfera tangente às seis arestas de um tetraedro regular é média proporcional entre o raio da esfera inscrita e o raio da esfera circunscrita ao mesmo tetraedro.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num tetraedro regular, o raio da esfera que fica tangente às seis arestas é média proporcional entre o raio da esfera inscrita e o raio da esfera circunscrita .
Conteúdo: geometria espacial de tetraedro regular e relações entre distâncias do centro aos vértices, faces e arestas.
Passo 2
Seja a aresta do tetraedro. Primeiro vamos achar e .
A área de cada face triangular é
e o volume do tetraedro é
Para qualquer pirâmide, o raio da esfera inscrita satisfaz
Como o tetraedro tem 4 faces, a área total é . Logo
O centro de massa coincide com o centro da circunferência circunscrita, e a distância desse centro a qualquer vértice é
Passo 3
Agora calculamos , a distância do centro do tetraedro a uma aresta, digamos . Usamos a fórmula da distância de um ponto à reta em 3D:
Sabemos lvert OArvert=lvert OBrvert=R e o ângulo entre OA e OB é arccos(-tfrac13), então
ou seja, o raio da esfera tangente às arestas é média proporcional entre os raios da esfera inscrita e da esfera circunscrita.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 14.Exercícios - Ex. 1010