1. Demonstre que raiz2+raiz8<raiz3+raiz7

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que raiz2+raiz8<raiz3+raiz7. O conteúdo aqui é comparação de somas de radicais usando a propriedade de que a função quadrado é estritamente crescente em [0,infty).

Passo 2

Como raiz2+raiz8 e raiz3+raiz7 são positivos, podemos elevar ambos os lados ao quadrado mantendo a desigualdade:
raiz2+raiz8<raiz3+raiz7 Long<=ftrightarrow (raiz2+raiz8)^2<(raiz3+raiz7)^2

Passo 3

Calculemos cada quadrado:
(raiz2+raiz8)^2 = 2 + 8 + 2raiz2cdot8 = 10 + 2raiz16 = 10 + 2cdot4 = 18,
(raiz3+raiz7)^2 = 3 + 7 + 2raiz3cdot7 = 10 + 2raiz21

Passo 4

A diferença entre os quadrados é
(raiz3+raiz7)^2 - (raiz2+raiz8)^2 = (10 + 2raiz21) - 18 = 2raiz21 - 8 = 2(raiz21 - 4)
Como raiz21>raiz16=4, segue raiz21-4>0 e, portanto, (raiz3+raiz7)^2 > (raiz2+raiz8)^2.

Passo 5

Da equivalência do Passo 2, concluímos que
raiz2+raiz8<raiz3+raiz7

Resposta

raiz2+raiz8<raiz3+raiz7.

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