14.8 Demonstre o teorema do fator.
Pelo teorema do resto, quando
é dividido por
, o resto é
.
Assuma que
é um zero de
; então,
. Portanto,
, ou seja,
é um fator de
.
Reciprocamente, assuma que
é um fator de
; então, o resto, quando
é dividido por
, deve ser zero. Pelo teorema do resto, este resto é
;
.
Assuma que
Reciprocamente, assuma que
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar o Teorema do Fator, que diz: “Para um polinômio
e um escalar
, temos que
é fator de
se, e somente se,
.” Vamos usar o Teorema do Resto e a definição de fator em divisão de polinômios.
Passo 2
Pelo Teorema do Resto, ao dividirmos
por
, existe um quociente
e um resto
que satisfazem
e o Teorema do Resto garante que
. Logo temos a identidade de divisão
Passo 3
Direção “se
, então
é fator de
”:
Se , a expressão acima fica
Se
Isto mostra que
é exatamente o produto de
por
, ou seja,
divide
sem resto, sendo portanto um fator.
Passo 4
Converse “se
é fator de
, então
”:
Se é fator de
, ao dividirmos
por
o resto deve ser zero. Pelo Teorema do Resto este resto é
. Assim
Se
Resposta
O polinômio
satisfaz
o que conclui a demonstração do Teorema do Fator.