14.8 Demonstre o teorema do fator.
Pelo teorema do resto, quando f(x) é dividido por x-c, o resto é f(c).
Assuma que c é um zero de f(x); então, f(c)=0. Portanto, f(x)=q(x)(x-c)+f(c)=q(x)(x-c), ou seja, x-c é um fator de f(x).
Reciprocamente, assuma que x-c é um fator de f(x); então, o resto, quando f(x) é dividido por x-c, deve ser zero. Pelo teorema do resto, este resto é f(c); logo, f(c)=0.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar o Teorema do Fator, que diz: “Para um polinômio f(x) e um escalar c, temos que x-c é fator de f(x) se, e somente se, f(c)=0.” Vamos usar o Teorema do Resto e a definição de fator em divisão de polinômios.

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, ao dividirmos f(x) por x-c, existe um quociente q(x) e um resto r que satisfazem
f(x) = q(x),(x-c) + r,
e o Teorema do Resto garante que r = f(c). Logo temos a identidade de divisão
f(x) = q(x),(x-c) + f(c)

Passo 3

Direção “se f(c)=0, então x-c é fator de f(x)”:
Se f(c)=0, a expressão acima fica
f(x) = q(x),(x-c) + 0 Longrightarrow f(x) = q(x),(x-c)
Isto mostra que f(x) é exatamente o produto de q(x) por (x-c), ou seja, x-c divide f(x) sem resto, sendo portanto um fator.

Passo 4

Converse “se x-c é fator de f(x), então f(c)=0”:
Se x-c é fator de f(x), ao dividirmos f(x) por x-c o resto deve ser zero. Pelo Teorema do Resto este resto é f(c). Assim
resto=0 Longrightarrow f(c)=0

Resposta

O polinômio f(x) satisfaz
x-c é fator de f(x) Long<=ftrightarrow f(c)=0, é
o que conclui a demonstração do Teorema do Fator.

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