Demonstre que em toda P.A., com número ímpar de termos, o termo médio é igual à diferença entre a soma dos termos de ordem ímpar e a soma dos termos de ordem par.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, numa progressão aritmética (P.A.) de 2k+1 termos, o termo do meio, isto é, ak+1, é igual à diferença entre a soma dos termos de índice ímpar e a soma dos termos de índice par. Para isso usaremos:
– a fórmula do n-ésimo termo de uma P.A.:
an = a1 + (n-1),d,
– as fórmulas de soma de séries aritméticas e de somatórios elementares:
sumj=0^k j = k(k+1)2, sumj=1^k(2j-1) = k^2

Passo 2

Definimos
Símpar = a1 + a3 + cdots + a2k+1 = sumj=0^k a2j+1 í
Como a2j+1=a1+2jd, temos
Símpar = sumj=0^kl(a1+2jdr) = (k+1),a1 + 2dsumj=0^kj = (k+1)a1 + 2dcdotk(k+1)2 = (k+1)l(a1+kdr) í

Passo 3

Definimos
Spar = a2 + a4 + cdots + a2k = sumj=1^k a2j
Como a2j=a1+(2j-1)d, obtemos
Spar = sumj=1^kl(a1+(2j-1)dr) = k,a1 + dsumj=1^k(2j-1) = k,a1 + dcdot k^2

Passo 4

Agora calculamos a diferença
Símpar ;-; Spar = (k+1)l(a1+kdr);-;l(k,a1+k^2dr) í
Expandindo e agrupando termos, vem
Símpar - Spar = (k+1)a1 + k(k+1)d - k,a1 - k^2d = a1 + kd = ak+1, í
pois ak+1=a1+k,d.

Resposta

Demonstrou-se que, numa P.A. com 2k+1 termos, o termo médio ak+1 é exatamente
ak+1 = Símpar - Spar í

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