Demonstre que em toda P.A., com número ímpar de termos, o termo médio é igual à diferença entre a soma dos termos de ordem ímpar e a soma dos termos de ordem par.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, numa progressão aritmética (P.A.) de
termos, o termo do meio, isto é,
, é igual à diferença entre a soma dos termos de índice ímpar e a soma dos termos de índice par. Para isso usaremos:
– a fórmula do -ésimo termo de uma P.A.:
– a fórmula do
– as fórmulas de soma de séries aritméticas e de somatórios elementares:
Passo 2
Definimos
Como
, temos
Passo 3
Definimos
Como
, obtemos
Passo 4
Agora calculamos a diferença
Expandindo e agrupando termos, vem
pois
.
Resposta
Demonstrou-se que, numa P.A. com
termos, o termo médio
é exatamente