Quantos números inteiros e positivos, formados de dois ou três algarismos, não são divisíveis por 7?

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de inteiros positivos com dois ou três algarismos que não são divisíveis por 7. Esses números formam o intervalo de ,10 a ,999, excluindo-se apenas os divisíveis por 7.

Passo 2

Vamos contar primeiro quantos números existem de dois ou três algarismos.
Total = (99 - 10 + 1) ;+; (999 - 100 + 1) ;=; 90 ;+; 900 ;=; 990

Passo 3

Agora, quantos desses ,990 são divisíveis por 7? Podemos usar que o número de múltiplos de 7 em [a,b] é
llfloor tfracb7rrfloor ;-;llceil tfraca7rrceil + 1
Aqui a=10 e b=999, então
llfloor tfrac9997rrfloor =142, llceil tfrac107rrceil =2,
logo o número de múltiplos de 7 em [10,999] é
142 - 2 + 1 = 141

Passo 4

Finalmente, subtraímos os divisíveis pelo total para achar os não divisíveis:
Não divisíveis por 7 ;=; 990 - 141 = 849 ãí

Resposta

849

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