Demonstre: Tôda sucessão ilimitada diverge.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que toda sequência não limitada (isto é, ilimitada) diverge. O conteúdo principal é a definição de convergência de sequência e a noção de sequência limitada. Vamos usar o argumento por contrapositive: provar que “se uma sequência converge, então ela é limitada” e, portanto, sua contrapositiva diz “se uma sequência não é limitada, então ela não converge”, ou seja, diverge.
Passo 2
Prova do lema “toda sequência convergente é limitada”. Suponha que
converge para um limite
. Por definição de convergência, temos
Escolhendo
, existe
tal que para todo
vale
Para os índices
há apenas um número finito de termos
, que também são limitados por algum
. Portanto, tomando
concluímos que para todo
vale
. Logo
é limitada.
Passo 3
Aplicando a contrapositiva do lema acima: se uma sequência
não for limitada (isto é, for ilimitada), então ela não pode converger, pois toda sequência convergente seria limitada. Logo
diverge.
Resposta
Qualquer sequência ilimitada diverge.