Demonstre: Tôda sucessão ilimitada diverge.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que toda sequência não limitada (isto é, ilimitada) diverge. O conteúdo principal é a definição de convergência de sequência e a noção de sequência limitada. Vamos usar o argumento por contrapositive: provar que “se uma sequência converge, então ela é limitada” e, portanto, sua contrapositiva diz “se uma sequência não é limitada, então ela não converge”, ou seja, diverge.

Passo 2

Prova do lema “toda sequência convergente é limitada”. Suponha que (an) converge para um limite L. Por definição de convergência, temos
forall varepsilon>0 exists NinN forall n>= N: |an - L|<varepsilon
Escolhendo varepsilon=1, existe N tal que para todo n>= N vale
|an - L|<1 Longrightarrow |an|<=|L|+1
Para os índices n< N há apenas um número finito de termos a1,a2,dots,aN-1, que também são limitados por algum M0. Portanto, tomando
M = maxl|L|+1,;M0r,
concluímos que para todo ninN vale |an|<= M. Logo (an) é limitada.

Passo 3

Aplicando a contrapositiva do lema acima: se uma sequência (an) não for limitada (isto é, for ilimitada), então ela não pode converger, pois toda sequência convergente seria limitada. Logo (an) diverge.

Resposta

Qualquer sequência ilimitada diverge.

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