Mostre que as seguintes sucessões convergem e encontre seus limites:
(a) n^2+1n^3+1
(b) 5 n^3-77 n^3+2 n-1
(c) ln nn
(d) n2^n
(e) 1112, 1314, 1516, ldots
(f) 1raizn
(g) raiz4 n+1n
(h) 1 ; 1 ; 1 ; 1,01 ; 1,001 ; ldots
(i) raizn+1-raizn
(j) (-1)^n 2^n3^n-5
(k) 1+2+cdots+nn+2-n2
(l) 0, 12, 0, 13, 0, 14, ldots

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que cada sucessão an converge e calcular seu limite limntoinftyan. O conteúdo envolvido é o cálculo de limites de sequências, usando comparações de ordens (grau de polinômios), comportamento de funções logarítmicas e exponenciais, e manipulações algébricas (racionalização, soma de termos).

Passo 2

(a) e (b) são quocientes de polinômios em n. Quando ntoinfty, o termo dominante no numerador e no denominador governa o limite.
Para (a):
an=n^2+1n^3+1 =n^2l(1+1/n^2r)n^3l(1+1/n^3r) =1+1/n^2n,(1+1/n^3)
Logo limntoinftyan=0.
Para (b):
bn=5n^3-77n^3+2n-1 =n^3(5-7/n^3)n^3(7+2/n^2-1/n^3)
Logo limntoinftybn=57.

Passo 3

(c) cn=ln nn. Sabemos que o log cresce muito mais devagar que n. Uma justificativa via L’Hospital (função contínua) dá
limxtoinftyln xx =limxtoinfty1/x1=0
Portanto limntoinftycn=0.

Passo 4

(d) dn=n2^n. Aqui a exponencial 2^n cresce muito mais rápido que n. Logo
limntoinftydn=0.

Passo 5

(e) A sequência é
e1=1112,;e2=1314,;e3=1516,;dots
Em geral en=2n+92n+10. Ao passar para o limite, os termos de maior grau em n dão
lim en=22=1.

Passo 6

(f) fn=1raizn. Como raizntoinfty, tem-se lim fn=0.

Passo 7

(g) gn=raiz4n+1n =raiz4+1n . Quando ntoinfty, o termo 1/nto0, então
lim gn=raiz4=2.

Passo 8

(h) A sequência é
1,;1,;1,;1,01,;1,001,;dots
Para n>=4, hn=1+10^3-n. Como 10^3-nto0 quando ntoinfty, segue lim hn=1.

Passo 9

(i) in=raizn+1-raizn. Racionalizando:
in=(raizn+1-raiz n)(raizn+1+raiz n)raizn+1+raiz n =1raizn+1+raiz n
O denominador tende a 2raiz ntoinfty, logo lim in=0.

Passo 10

(j) jn=(-1)^n2^n3^n-5 =(-1)^n2^n3^n(1-5/3^n) =(-1)^n(2/3)^n1-5/3^n
Como (2/3)^nto0 e 1-5/3^nto1, temos lim jn=0.

Passo 11

(k) Seja Sn=1+2+cdots+n=tfracn(n+1)2. Então
kn=Snn+2- n2 =tfracn(n+1)2n+2- n2 =n(n+1)2(n+2)- n2
Colocando sobre o mesmo denominador:
kn =n(n+1)-n(n+2)2(n+2) =n^2+n-n^2-2n2(n+2) =-n2(n+2) =-12cdotnn+2
Como nn+2to1, então lim kn=-tfrac12.

Passo 12

(l) A sequência é
0,;tfrac12,;0,;tfrac13,;0,;tfrac14,;dots
Nos termos pares temos l2m=tfrac1m+1to0, e nos termos ímpares l2m-1=0. Portanto todo subsequência tende a 0, e lim ln=0.

Resposta

(a) 0
(b) tfrac57
(c) 0
(d) 0
(e) 1
(f) 0
(g) 2
(h) 1
(i) 0
(j) 0
(k) -tfrac12
(l) 0

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