Mostre que as seguintes sucessões convergem e encontre seus limites:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que cada sucessão
converge e calcular seu limite
. O conteúdo envolvido é o cálculo de limites de sequências, usando comparações de ordens (grau de polinômios), comportamento de funções logarítmicas e exponenciais, e manipulações algébricas (racionalização, soma de termos).
Passo 2
(a) e (b) são quocientes de polinômios em
. Quando
, o termo dominante no numerador e no denominador governa o limite.
Para (a):
Para (a):
Logo
.
Para (b):
Para (b):
Logo
.
Passo 3
(c)
. Sabemos que o log cresce muito mais devagar que
. Uma justificativa via L’Hospital (função contínua) dá
Portanto
.
Passo 4
(d)
. Aqui a exponencial
cresce muito mais rápido que
. Logo
.
Passo 5
(e) A sequência é
Em geral
. Ao passar para o limite, os termos de maior grau em
dão
.
Passo 6
(f)
. Como
, tem-se
.
Passo 7
(g)
. Quando
, o termo
, então
.
Passo 8
(h) A sequência é
Para
,
. Como
quando
, segue
.
Passo 9
(i)
. Racionalizando:
O denominador tende a
, logo
.
Passo 10
(j)
Como e
, temos
.
Como
Passo 11
(k) Seja
. Então
Colocando sobre o mesmo denominador:
Como
, então
.
Passo 12
(l) A sequência é
Nos termos pares temos
, e nos termos ímpares
. Portanto todo subsequência tende a
, e
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)