Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para infty ou -infty, quais divergem sem limite infinito?
(-1)^n 2^n2^n+1

Passo 1

O enunciado pede a classificação da sequência
an = (-1)^n 2^n2^n + 1
em uma destas categorias:
– converge a um número finito;
– diverge para +infty ou para -infty;
– diverge sem limite infinito.
Para isso, vamos analisar o comportamento de an quando ntoinfty.

Passo 2

Observe que
2^n2^n+1 =11 + 2^-n
Como 2^-nto 0 quando ntoinfty, temos
2^n2^n+1;longrightarrow;1

Passo 3

Logo
an = (-1)^n ,2^n2^n+1 ;longrightarrow;(-1)^n cdot 1 = (-1)^n
Isto significa que os termos de índice par
a2klongrightarrow +1
e os termos de índice ímpar
a2k+1longrightarrow -1

Passo 4

Visto que há duas subsequências com limites diferentes ( +1 e -1), a sequência (an) não converge a um único valor finito. Além disso, ela não cresce sem limite (é limitada em [-1,1]), logo também não diverge para +infty nem para -infty.

Resposta

A sequência diverge sem limite infinito.

Exercícios de Livros Relacionados