Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para infty ou -infty, quais divergem sem limite infinito?
nn+sen n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = n,n + sen n,
e quer saber se ela converge, diverge para +infty ou -infty, ou diverge sem limite infinito. Vamos usar propriedades de limites de sequências e o teorema do confronto.

Passo 2

Como sen n é sempre limitado em [-1,1], temos para todo n>=2:
n - 1 <= n + sen n <= n + 1
Como o denominador é positivo para n>1, podemos inverter os inequalities após dividir por ele:
n,n+1, <= n,n + sen n, <= n,n-1,
Agora calculamos os limites das sequências-guia:
limntoinftyn,n+1, = 1, limntoinftyn,n-1, = 1
Pelo teorema do confronto, segue que
limntoinftyn,n + sen n, = 1

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

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