Demonstre que, para todos os números reais x e y,-x-y =-(x+y).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos mostrar que, para quaisquer números reais x e y, vale a igualdade
-x - y = -(x + y).
O conteúdo usado será a definição de elemento simétrico (inverso aditivo) em \mathbb{R} e as propriedades de associatividade e comutatividade da soma.

Passo 2

Lembremos que, por definição, o inverso aditivo de um número z é aquele número, que chamamos de -z, que satisfaz
z + (-z) = 0.
Além disso, em \mathbb{R} a soma é comutativa e associativa.

Passo 3

Vamos verificar que -x - y é, de fato, o inverso aditivo de x+y. Calculamos:
(x+y) + (-x - y) \;=\; x + y + (-x) + (-y) \;=\; \bigl(x + (-x)\bigr) + \bigl(y + (-y)\bigr) \;=\; 0 + 0 \;=\; 0.
Aqui usamos comutatividade para reordenar os termos e associatividade para agrupar.

Passo 4

Concluímos que -x - y somado a x+y dá zero, ou seja, -x - y é um inverso aditivo de x+y. Mas o inverso aditivo em \mathbb{R} é único, logo
-x - y = -(x + y).

Resposta

-x - y = -(x + y).

Exercícios de Livros Relacionados