Demonstre que, para todos os números reais
e
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos mostrar que, para quaisquer números reais
e
, vale a igualdade
O conteúdo usado será a definição de elemento simétrico (inverso aditivo) em
e as propriedades de associatividade e comutatividade da soma.
Passo 2
Lembremos que, por definição, o inverso aditivo de um número
é aquele número, que chamamos de
, que satisfaz
Além disso, em
a soma é comutativa e associativa.
Passo 3
Vamos verificar que
é, de fato, o inverso aditivo de
. Calculamos:
Aqui usamos comutatividade para reordenar os termos e associatividade para agrupar.
Passo 4
Concluímos que
somado a
dá zero, ou seja,
é um inverso aditivo de
. Mas o inverso aditivo em
é único, logo